## [Satz von Noether](/de/node/57650) Definition Ein formaler Satz, der jeder stetigen differenzierbaren Symmetrie eines Wirkungsfunktionals in einem variationellen physikalischen System eine entsprechende erhaltene Größe zuordnet. ## Prinzip Prinzip Ist die Wirkung invariant unter einer stetigen differenzierbaren Transformationsfamilie, so existiert ein durch diese Symmetrie erzeugter erhaltener Strom oder eine Erhaltungsgröße. ## Demonstration Demonstration Bei einem Lagrange-System, dessen Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, führt die Invarianz gegenüber Zeittranslationen zu einer erhaltenen Größe, die als Energie des Systems identifiziert wird. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Anwendung des Satzes auf Systeme ohne variationelle Wirkung, auf diskrete (nicht-stetige) Symmetrien ohne Anpassung oder das Ignorieren notwendiger Randbedingungen führt zu falschen Erhaltungsaussagen. ## Konsequenz Konsequenz Korrekte Anwendung liefert explizite Erhaltungsgrößen, die die effektiven Freiheitsgrade reduzieren und die Langzeitdynamik einschränken. ## Umkehrung Umkehrung Wird eine stetige Symmetrie gebrochen (zum Beispiel durch zeitabhängige Lagrange-Funktion), entfällt die zugehörige Erhaltungssatz, sodass die zuvor erhaltene Größe nicht mehr erhalten sein muss. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Systeme mit einem differenzierbaren Wirkungsfunctional und geeigneten Randbedingungen; schließt nicht-variationelle Dynamiken, rein diskrete Symmetrien (sofern nicht diskrete Analogien verwendet) und singuläre feldkonfigurationen, die Differenzierbarkeit verletzen, aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Unterscheidet sich von der vereinfachten Aussage ‚Symmetrie impliziert Invarianz der Gleichungen‘: Noethers Satz verknüpft die Symmetrie der Wirkung (nicht nur der Bewegungsgleichungen) mit einer Erhaltungsgröße — eine stärkere, strukturelle Beziehung. ## Synthese Synthese Noethers Satz wandelt stetige variationelle Symmetrien präzise in erhaltene Ströme um und liefert ein systematisches Verfahren, um Invarianten zu gewinnen, die die physikalische Dynamik vereinfachen und einschränken.