## [Fourier-Transformation](/de/node/57660) Definition Eine lineare Integraltransformation, die eine Funktion der Zeit oder des Raums in eine Funktion der Frequenz abbildet und das Original als Überlagerung sinusförmiger Komponenten darstellt. ## Prinzip Prinzip Zerlegung von Signalen in orthogonale Frequenzkomponenten, sodass lineare Operationen (Faltung, Differentiation) in Frequenzkoordinaten zu algebraischen Operationen werden. ## Demonstration Demonstration Die Transformation von f(x)=exp(-a x^2) (a>0) ergibt eine weitere Gaußsche Funktion in der Frequenz; die Faltung zweier L1-Funktionen entspricht dem punktweisen Produkt ihrer Transformationen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anwenden der Transformation auf eine nicht-temperierte Distribution ohne distributionentheoretische Erweiterung oder die Behandlung einer nur distributionsmäßig konvergenten Transformation als gewöhnliche punktweise Funktion. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglicht spektrale Darstellungen, vereinfacht lineare Differentialgleichungen und liefert Parseval‑artige Identitäten, die die Energie im Ursprungs‑ und Frequenzbereich verknüpfen. ## Umkehrung Umkehrung Die inverse Transformation stellt die ursprüngliche Zeit-/Raumfunktion aus der Frequenzdarstellung wieder her; fehlende Invertierbarkeit weist auf unzureichende Annahmen über den Definitionsbereich hin. ## Abgrenzung Abgrenzung Klassisch definiert für integrierbare oder quadratintegrierbare Funktionen und auf temperierte Distributionen erweiterbar; gilt nicht als punktweise Operation für beliebige nicht‑temperierte Generalisierungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Oft gegenüber der Laplace‑Transformation abgewogen: beide transformieren in frequenzähnliche Variablen, unterscheiden sich jedoch in Konvergenzbereichen und im Umgang mit Wachstum im Unendlichen. ## Synthese Synthese Eine kanonische lineare Abbildung zwischen Zeit/Raum‑ und Frequenzdarstellungen, die eine Funktion als gewichtete sinusförmige Komponenten codiert und Faltung/Differentiation in Multiplikation/algebraische Operationen überführt.