##  [Fokker‑Planck‑Gleichung](/de/node/57668) 

 Definition

Eine parabolische partielle Differentialgleichung, die die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte des Zustands eines stochastischen Prozesses beschreibt, typischerweise die Diffusionsgrenze der Gesetzesentwicklung einer stochastischen Differentialgleichung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ausdruck der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit und des Flussgleichgewichts: Driftterme erzeugen advektiven Fluss, Diffusionsterme diffusen Fluss; zusammen steuern sie den Dichtetransport und das Annähern an invariante Maße.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Fokker‑Planck‑Gleichung zum Ornstein–Uhlenbeck‑Prozess ist eine lineare parabolische PDE, deren gaußsche fundamentale Lösung zu einer stationären gaußschen Dichte relaxt, wenn die Drift rückstellend ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anwenden von Fokker‑Planck‑Formeln für stetige Diffusionen auf Sprungprozesse oder diskrete Markovketten, ohne sie durch eine Master‑Gleichung oder einen nichtlokalen Operator zu ersetzen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wandelt ein stochastisches Dynamikproblem in eine deterministische PDE für Dichten um: stationäre Lösungen entsprechen invarianten Maßen, spektrale Analyse des Erzeugers liefert Relaxationsraten und Varianzzerfall.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Weglassen von Diffusionstermen führt zur Liouville‑Transportgleichung für deterministische Flüsse (reiner advektiver Transport); Hinzufügen nichtlokaler Sprungterme verwandelt sie in eine integrodifferenzielle Master‑Gleichung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gültig für Markov‑Diffusionsprozesse mit ausreichend regulären Koeffizienten und geeigneten Randbedingungen; gilt nicht direkt für reine Sprungprozesse oder schlecht gestellte Koeffizientenszenarien, die distributionelle Lösungen erfordern.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Oft im Vergleich zur rückwärtigen Kolmogorov‑Gleichung: Die Fokker‑Planck ist vorwärts in der Zeit für Dichten, während die rückwärtige Gleichung Beobachtungen oder Erwartungen steuert, die entgegen der Zeitentwicklung des Erzeugers evolvieren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine deterministische PDE, die die vorwärtsgerichtete Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsdichten für diffusionsartige stochastische Prozesse codiert und Drift‑ und Diffusionskoeffizienten mit advektiven und diffusen Wahrscheinlichkeitsflüssen sowie stationären Zuständen verbindet.