## [Lyapunov-Funktion](/de/node/57687) Definition Eine skalare Funktion V(x), definiert in einer Umgebung eines Gleichgewichts eines dynamischen Systems, die positiv-definit ist und deren Ableitung entlang der Systemtrajektorien ein festes Vorzeichen hat (typischerweise nicht steigend), verwendet als Stabilitätszertifikat ohne Lösung der Trajektorien. ## Prinzip Prinzip Ist V positiv-definit und ist ihre zeitliche Ableitung entlang der Lösungen negativ-definit (oder nicht positiv), dann ist das Gleichgewicht stabil (bzw. nach Lyapunow stabil/asymptotisch stabil unter stärkeren Bedingungen). ## Demonstration Demonstration Für das lineare System ẋ = −a x mit a>0 wähle V(x)=x^2: V>0 für x≠0 und dV/dt = 2x ẋ = −2a x^2 ≤ 0, womit die asymptotische Stabilität des Gleichgewichts bei 0 bewiesen ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Kandidatenfunktion V zu verwenden, die nicht positiv-definit ist oder deren Ableitung das Vorzeichen wechselt, und dennoch Stabilität zu behaupten; oder das Konzept ohne Prüfung des Gültigkeitsbereichs (lokal vs. global) anzuwenden. ## Konsequenz Konsequenz Bietet eine konstruktive, oft koordinatenfreie Methode, um Stabilität oder Attraktivität von Gleichgewichten nachzuweisen; kann Einzugsgebiete und Robustheitszertifikate liefern, ohne das System zu integrieren. ## Umkehrung Umkehrung Das Fehlen einer Lyapunov-Funktion in einfacher Form impliziert nicht Instabilität; umgekehrt deutet eine energieartige Funktion, die entlang von Trajektorien wächst, auf Instabilität oder Abstoßung hin. ## Abgrenzung Abgrenzung Formuliert für deterministische dynamische Systeme (kontinuierlich oder diskret) mit hinreichender Regularität; Existenz kann nur lokal sein und lässt sich nicht direkt auf Systeme mit nichtdifferenzierbarer Dynamik oder bestimmte stochastische Formulierungen übertragen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Verwandt, aber verschieden von physikalischer Energie: Beide sind skalare Maße, doch eine Lyapunov-Funktion ist ein mathematisches Stabilitätszertifikat und muss nicht mit einer konservierten oder dissipierten physikalischen Energie übereinstimmen. ## Synthese Synthese Eine Lyapunov-Funktion ist ein skalares Zertifikat, das in der Nähe eines Gleichgewichts definiert ist und durch Positive-Definitheit und Abnahme entlang der Trajektorien Stabilitätseigenschaften nachweist, ohne die Dynamik explizit zu lösen.