##  [Fixpunkt](/de/node/57697) 

 Definition

Ein Punkt x in einer Menge S, so dass eine Abbildung f: S → S die Gleichung f(x) = x erfüllt; ein durch die Abbildung unveränderliches Element.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Invarianz unter einer Selbstabbildung: Lösungen vieler funktionaler und dynamischer Probleme entsprechen Punkten, die von einem Operator oder einer Abbildung festgehalten werden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum besitzt einen eindeutigen Punkt x mit f(x)=x, und die Iteration von f konvergiert gegen diesen Punkt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Vorauszusetzen, dass für jede stetige Selbstabbildung in beliebigen Räumen ein Fixpunkt existiert, ohne Vollständigkeit, Kompaktheit oder andere Existenzbedingungen zu prüfen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unter erfüllten Voraussetzungen folgt die Existenz (und manchmal Eindeutigkeit sowie konstruktive Konvergenz) einer Lösung der Gleichung x = f(x).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein periodischer Punkt mit Periode n (f^n(x)=x, aber f^k(x)≠x für 0

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Abbildungen eines Raums in sich selbst; umfasst nicht Punkte, die nur bis auf eine Äquivalenzrelation invariant sind oder statistische Invarianz (z. B. invariante Maße).

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Verwechslung mit Gleichgewicht: Ein Fixpunkt ist punktweise Invarianz f(x)=x, während Gleichgewicht in Anwendungen eine stationäre Verteilung oder Ensemble-Stetigkeit bedeuten kann.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Fixpunkt ist ein invariant bleibendes Element einer Selbstabbildung, dessen Existenz und Eigenschaften durch strukturelle Voraussetzungen (Kontraktion, Kompaktheit, Stetigkeit) gesteuert werden und das oft Lösungen der Gleichung x = f(x) liefert.