##  [Bifurkation](/de/node/57703) 

 Definition

Eine qualitative Veränderung der Menge invarianten Lösungen (Gleichgewichte, periodische Orbits oder Attraktoren) eines parametrisierbaren dynamischen Systems, die auftritt, wenn ein Parameter einen kritischen Wert überschreitet.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Strukturelle Änderung bei Parametervariation: die glatte Parameterabhängigkeit der Dynamik kann an kritischen Parametern versagen und die Erzeugung, Vernichtung oder Stabilitätsänderung invarianten Verhaltens hervorrufen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Wenn ein Steuerparameter ansteigt, können zwei Gleichgewichte kollidieren und verschwinden (Sattel-Knoten-Bifurkation), oder ein stabiles Gleichgewicht kann seine Stabilität verlieren und eine kleine Amplitude oszillierender Lösung hervorbringen (Hopf-ähnliches Verhalten).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Aus endlichen numerischen Trajektorien allein auf eine Bifurkation zu schließen, ohne Robustheit gegen Störungen oder Parameteränderungen zu prüfen, oder deterministische Bifurkationen auf zufällige Fluktuationen zurückzuführen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bifurkationen strukturieren das parameterabhängige Verhalten: sie kennzeichnen Schwellen, an denen sich das qualitative Verhalten ändert, und leiten experimentelle Kontrolle sowie die Suche nach Mehrfachregimen oder Hysterese.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Strukturelle Stabilität meint das Fortbestehen qualitativen Verhaltens unter kleinen Paramter- oder Systemstörungen; ein System ohne Bifurkationen in einem Parameterintervall ist dort strukturell stabil.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für Familien dynamischer Systeme mit kontinuierlicher Parametrisierung; stochastische Systeme, zeitlich begrenzte transiente Phänomene oder Änderungen allein durch Messrauschen fallen nicht unter die klassische deterministische Bifurkationsdefinition.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Nah an der Vorstellung einer Phasenübergang in der statistischen Physik — beide beschreiben qualitative Änderungen — aber Bifurkationen sind meist deterministisch, endlichdimensional und lokal im Parameterraum, während Phasenübergänge thermodynamische Grenzen und kollektive Fluktuationen einbeziehen können.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Bifurkation ist eine parametergetriebene Umordnung invarianten Verhaltens eines dynamischen Systems, bei der qualitative Änderungen (Erzeugung, Vernichtung oder Stabilitätswechsel) bei kritischen Parametern auftreten und unterschiedliche dynamische Bereiche trennen.