##  [Maßerhaltende Transformation](/de/node/57706) 

 Definition

Eine messbare Abbildung T: X → X eines Maßraums (X, Σ, μ) mit μ(T^{-1}(A)) = μ(A) für jede messbare Menge A; äquivalent dazu ist die Bildmaß T_*μ gleich μ.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Wirkung von T bewahrt das Maß: Mengen und ihre Urbilder haben dasselbe Maß.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Drehung um einen Winkel α auf dem Einheitskreis mit dem Lebesgue-Maß: für jeden Bogen A gilt Leb(T^{-1}(A)) = Leb(A), somit ist das Lebesgue-Maß unter der Drehung invariant.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Aus der Existenz eines Fixpunktes oder punktweisen Erhalts eines Teilmengen auf Maßenerhalt zu schließen; oder die Invarianzgleichung auf nicht messbare Mengen anzuwenden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Konstruktion invarianten Integrale, die Anwendung von Rekurrenzsätzen und das Studium statistischer Eigenschaften unter Iteration von T.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine maßvergrößernde oder maßverkleinernde Abbildung, für die μ(T^{-1}(A)) systematisch von μ(A) abweicht, z. B. expandierende Abbildungen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Nur definiert für messbare Räume mit einem gegebenen Maß; impliziert nicht Ergodizität, Invertierbarkeit oder Erhalt einzelner Punkte.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft kontrastiert mit Quasiinvarianz (Maße sind bis auf eine Dichte äquivalent) oder mit absoluter Stetigkeit der Bildmaße.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine messbare Transformation, die ein gegebenes Maß auf allen messbaren Mengen unverändert lässt und so den invariantiven Rahmen für maßtheoretische Dynamik liefert.