##  [Schwache Konvergenz](/de/node/57712) 

 Definition

Eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen (μ_n) auf einem metrischen Raum konvergiert schwach gegen μ, wenn ∫ f dμ_n → ∫ f dμ für jede beschränkte, stetige Funktion f; äquivalent konvergieren Verteilungsfunktionen an den Stetigkeitsstellen der Grenze.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Konvergenz wird durch beschränkte stetige Observablen geprüft statt durch punktweise oder totalvariationsnormen und erfasst die Verteilungskonvergenz zufälliger Elemente.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Empirische Maße aus i.i.d. Stichproben konvergieren fast sicher schwach gegen die zugrundeliegende Verteilung (Glivenko–Cantelli-Resultate); z. B. konvergieren normierte Summen unter geeigneten Bedingungen in Verteilung zu einer stabilen Grenzverteilung.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Schwache Konvergenz heranzuziehen, um die Konvergenz von Erwartungen unbeschränkter Funktionen zu rechtfertigen, oder daraus Konvergenz in stärkeren Metriken wie Totalvariation ohne zusätzliche Bedingungen abzuleiten.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Garantiert die Konvergenz von Integralen beschränkter stetiger Testfunktionen und von Verteilungsfunktionen an Stetigkeitsstellen; unter Tightness besitzen Folgen Teilfolgen mit schwachen Grenzwerten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Konvergenz in Totalvariation oder uniforme Konvergenz von Dichten, die stärkere Kontrolle und Konvergenz von Integralen unbeschränkter Funktionen implizieren, aber nicht aus schwacher Konvergenz folgen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für Maße auf metrischen Räumen; impliziert nicht die Konvergenz von Momenten, sofern keine Momentbedingungen vorliegen, und ist schwächer als Konvergenz in stärkeren Normen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft gegenüber Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder fast sicherer Konvergenz von Zufallsvariablen gestellt; schwache Konvergenz betrifft die Gesetze und nicht das Pfadverhalten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Konvergenzmodus für Maße, der Konvergenz der Verteilungen mittels beschränkter, stetiger Tests erfasst und zentral für Grenzwertsätze und probabilistische Approximationen ist.