##  [Gibbs-Maß](/de/node/57718) 

 Definition

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Konfigurationsraum, das Gewichte proportional zu exp(-β H(ω)) gegenüber einem Referenzmaß zuordnet, wobei H eine Energie (Hamiltonfunktion) und β ein Invers-Temperatur-Parameter ist, sofern die Normierung (Partitionfunktion) endlich ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Konfigurationen nach ihrer Energie umgewichten, sodass bei positivem β niederenergetische Zustände exponentiell wahrscheinlicher sind; dies kodiert das Gleichgewicht der statistischen Mechanik für Systeme mit vielen Freiheitsgraden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beim Ising-Modell auf einem endlichen Gitter mit Hamiltonfunktion H(σ), die Kopplungen benachbarter Spins aufsummiert, ist das Gibbs-Maß auf Spin-Konfigurationen σ gegeben durch μ(σ) ∝ exp(-β H(σ)), und Erwartungen unter μ liefern thermodynamische Mittelwerte.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Gibbs-Formel im endlichen Volumen anzuwenden, ohne die Partitionfunktion im unendlichen Volumen zu kontrollieren, oder sie für nichtgleichgewichtige Dynamiken einzusetzen, bei denen die Detailbilanz nicht gilt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet einen Rahmen zur Berechnung thermodynamischer Erwartungen, Phasenkoexistenz und Korrelationszerfall; im Unendlich-Volumen-Limit charakterisieren Gibbs-Maße Gleichgewichtsphasen und Phasenübergänge.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein mikrokanonisches Maß konditioniert auf eine exakte Energie und gewichtet Konfigurationen mit dieser Energie gleich; die Umkehrung des Gibbs-Ideals ersetzt die exponentielle Energiegewichtung durch eine scharfe Energiekonstraint.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Benötigt ein Energiefunktional und ein Referenzmaß, sodass exp(-β H) integrierbar ist; schließt angetriebene stationäre Zustände ohne gibbssche Dichte und Situationen aus, in denen Wechselwirkungen nicht normalisierbare Gewichte erzeugen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zu stationären Nichtgleichgewichtsmaßen: Beide sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Konfigurationen, aber Gibbs-Maße folgen aus Energiegewichtung und Detailbilanz, Nichtgleichgewichtsmaße nicht notwendigerweise.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Gibbs-Maß ist die Gleichgewichtsverteilung über Systemkonfigurationen, erhalten durch exponentielle Gewichtung nach Energie (mit Inverse-Temperatur β) und Normalisierung durch die Partitionfunktion, falls vorhanden.