##  [Stationarität (Stochastischer Prozess)](/de/node/57743) 

 Definition

Eine Eigenschaft eines stochastischen Prozesses, deren endliche Verteilungsgesetze unter Zeitverschiebungen invariant sind: Für alle t und alle endlichen Index-Tupel hängt die gemeinsame Verteilung von (X_{t+t1},…,X_{t+tk}) nicht von t ab.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Statistische Homogenität in der Zeitdomäne erzwingen, sodass probabilistische Beschreibungen nur von relativen Zeitabständen und nicht von absoluten Zeitursprüngen abhängen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Diskretes Weißes Rauschen mit i.i.d. Nullmittelwert-Inkrementen ist streng stationär, da jede endliche Sammlung von Werten nach jeder ganzzahligen Verschiebung dieselbe gemeinsame Verteilung hat; ein gaußsches autoregressives Modell kann stationär sein, wenn seine Parameter in der Stabilitätsregion liegen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Stationarität mit Unabhängigkeit oder lediglich konstanter Erwartung zu verwechseln; ein Prozess kann konstantes erstes Moment besitzen, aber zeitabhängige höherordentliche Struktur und somit nicht stationär sein.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Stationarität erlaubt die Anwendung spektraler Methoden und zeitinvarianter Korrelationsfunktionen; in Kombination mit Ergodizität konvergieren zeitliche Mittel für fast jede Realisierung gegen Ensemble-Erwartungswerte.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Nichtstationäre Prozesse zeigen zeitlich veränderliche Statistiken (Trends, periodische Modulation der Momente, sich entwickelnde Varianz) und benötigen zeitabhängige Modelle oder Detrending, damit Standardmethoden für Stationarität gelten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert bezüglich einer Indexmenge (diskret oder kontinuierlich) und betrifft die Invarianz gemeinsamer Verteilungen; schwächere Begriffe (zweitordentliche oder weitgespannte Stationarität) fordern nur Konstanz des Mittels und Verschiebungsinvarianz der zweiten Momente.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Gegenüberstellung von strenger Stationarität (Invarianz aller endlichen Verteilungen) und weitgespannter Stationarität (nur erstes und zweites Moment sind verschiebungsinvariant); Letzteres genügt vielen linearen Signalmethoden, lässt jedoch höherordentliche Struktur außer Acht.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Stationarität ist die Zeittranslationsinvarianz des Wahrscheinlichkeitsgesetzes eines Prozesses und begründet zeitliche Homogenität, die spektrale Repräsentationen, invariante Korrelationsfunktionen und zahlreiche Standardverfahren der Inferenz ermöglicht.