##  [Monte-Carlo-Integration](/de/node/57747) 

 Definition

Eine numerische Methode, die bestimmte Integrale durch Mittelung der Integrandwerte schätzt, die an zufällig aus einer gewählten Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Gebiet gezogenen Punkten ausgewertet werden.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Verwende Zufallsstichproben, sodass das Stichprobenmittel der Integrandbewertungen nach dem Gesetz der großen Zahlen gegen das Integral konvergiert; die Varianz steuert die Genauigkeit.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Schätze das Integral von f(x)=exp(-|x|) über einen hochdimensionalen Einheitswürfel, indem N unabhängige uniforme Stichproben gezogen und der Mittelwert f(x) berechnet wird; Erhöhung von N reduziert den Monte-Carlo-Fehler ≈ O(N^{-1/2}).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Naives Zufallsstichprobenverfahren in sehr hoher Dimension ohne Varianzreduktion (Importance Sampling, Schichtung) oder zu kleines N anwenden, was irreführend laute Schätzungen ergibt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet eine dimensionsskalable Approximation, wo deterministische Quadratur unpraktisch ist; der Fehler nimmt stochastisch ab und lässt sich durch Stichprobenvarianz quantifizieren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Deterministische Quadratur- oder Interpolationsmethoden konvergieren schneller für glatte, niedrigdimensionale Integranden, skalieren jedoch typischerweise nicht zu sehr hohen Dimensionen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert, dass der Integrand unter der Stichprobenverteilung integrierbar ist; ungeeignet, wenn der Integrand unter dem Vorschlag unendliche Varianz hat oder wenn eine exakte symbolische Integration verfügbar und vorzuziehen ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Gegenüberstellung zu deterministischen Kubaturverfahren und zu quasi-zufälligen (niedriger Diskrepanz) Sequenzen; die Spannung liegt zwischen stochastischem O(N^{-1/2})-Konvergenzverhalten und schnelleren Raten deterministischer Methoden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Monte-Carlo-Integration approximiert Integrale durch zufälliges Abtasten und Mittelung; sie tauscht Konvergenzgeschwindigkeit gegen Robustheit gegenüber Dimension und komplizierten Gebieten ein, wobei die Genauigkeit vom Varianzmanagement abhängt.