##  [Konjugiertes Gradientenverfahren](/de/node/57789) 

 Definition

Ein iteratives lineares Löseverfahren, das paarweise konjugierte Suchrichtungen konstruiert, um die zu einer symmetrischen positiv definiten Matrix und dem rechten Vektor gehörige quadratische Form zu minimieren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine Folge von Suchrichtungen konstruieren, die bezüglich der Systemmatrix konjugiert sind, sodass Fehlerkomponenten in orthogonalen Unterräumen eliminiert werden und für gut konditionierte Probleme schnelle Konvergenz erreicht wird.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Angewandt auf ein spärliches symmetrisches positiv definites System A x = b erzeugt das Verfahren Iterierten, die den A-gewichteten Fehler minimieren und in exakter Arithmetik in höchstens n Schritten die exakte Lösung für n Unbekannte liefern.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Verfahren ohne Anpassung auf eine nicht symmetrische oder indefinitive Matrix anzuwenden führt oft zu Abbrüchen oder inkorrekter Konvergenz; spezielle Varianten sind erforderlich.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet einen speicherarmen Löser mit schneller Konvergenz für große spärliche Probleme, wenn die Matrix die Symmetrie- und Definitheitsanforderungen erfüllt.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Direkte Faktorisierungsverfahren (z. B. Gauß-Elimination) berechnen die Lösung über Matrixzerlegung statt über iterative Untermengenminimierung und tauschen Speicher gegen vorhersehbare Rechenschritte.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt Symmetrie und positive Definitheit der Systemmatrix voraus; für schlecht konditionierte Systeme ist in der Regel Vorbedingung nötig, und außerhalb dieses Bereichs werden andere Algorithmen eingesetzt.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Im Vergleich zur Gradientenabstiegsrichtung: Gradientenabstieg verwendet Gradienten als Richtungen und kann langsam konvergieren, während konjugierte Richtungen die Konvergenz beschleunigen, indem sie die wiederholte Reduktion gleicher Fehlerkomponenten vermeiden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein iteratives Verfahren, das durch Aufbau konjugierter Richtungen und Minimierung der zugehörigen quadratischen Form große spärliche symmetrische positiv definite lineare Systeme effizient löst, vorausgesetzt geeignetes Vorbedingung.