##  [Wirkung Einer Lie-Gruppe](/de/node/57797) 

 Definition

Eine glatte Abbildung, die beschreibt, wie Elemente einer Lie-Gruppe als glatte Transformationen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit wirken, d. h. ein Gruppenhomomorphismus der Lie-Gruppe in die Gruppe der Diffeomorphismen der Mannigfaltigkeit, der sowohl in den Gruppenelementen als auch im Basispunkt glatt ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine stetige Symmetrie wird durch eine glatt parametrisierte Familie von Diffeomorphismen repräsentiert, welche das Kompositionsgesetz der Gruppe erhält und so die algebraische Gruppenstruktur auf geometrische Transformationen überträgt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Rotationsgruppe wirkt auf der 2‑Sphäre, indem sie jeden Punkt dreht; die Wirkung ordnet jeder Rotation eine glatte Bijektion der Sphäre zu und zerteilt die Sphäre in Orbits (für manche Untergruppen z. B. Breitengradkreise).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine diskrete oder topologische Gruppenwirkung ohne differenzierbare Struktur als Lie‑Gruppenwirkung zu behandeln oder anzunehmen, dass jeder infinitesimale Erzeuger ohne Prüfung der Vollständigkeit integriert werden kann.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ergibt Orbitzerlegungen, Isotropieuntergruppen, invariante Tensorfelder, Erhaltungsgrößen für äquivariante Dynamiken und ermöglicht oft Quotientenmannigfaltigkeiten bei freien und properen Wirkungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein beliebiges Gruppenoid-Acting oder eine rein mengenmäßige Permutation, der die Glattheit und die Mannigfaltigkeitsstruktur fehlt, die Gruppenparameter mit differenzierbaren Transformationen verknüpft.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt eine Lie‑Gruppe und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit gegebener Glattheitsklasse voraus; schließt rein topologische, diskrete oder nicht glatte Gruppenwirkungen sowie Aktionen auf Räumen ohne Karten aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Globale Lie‑Gruppenwirkung versus infinitesimale Lie‑Algebra‑Wirkung: Letztere beschreibt lokale Erzeuger auf Tangentialräumen und lässt sich nicht immer zu einer globalen glatten Gruppenwirkung integrieren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Wirkung einer Lie‑Gruppe ist eine glatte, struktur­erhaltende Abbildung, welche Gruppenelemente als Diffeomorphismen einer Mannigfaltigkeit realisiert und so algebraische Symmetrien in geometrische Transformationen und Orbits überführt.