## [Menge Vom Maß Null](/de/node/57823) Definition Eine Teilmenge eines Maßraums, der ein Maß von null zugeordnet wird; Elemente dieser Menge sind bezüglich dieser Maßstruktur für Integration und 'fast überall'-Aussagen vernachlässigbar. ## Prinzip Prinzip Mengen vom Maß null können bei der Auswertung von Integralen oder Eigenschaften, die fast überall gelten, herausgenommen oder ignoriert werden, da sie die maßtheoretischen Werte nicht verändern. ## Demonstration Demonstration Die klassische Cantor-Menge ist überabzählbar, hat aber bezüglich des Lebesgue-Maßes in [0,1] Maß null; daher bleibt jedes Lebesgue-Integral über [0,1] unverändert, wenn die Integranden auf der Cantor-Menge geändert werden. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Maß-null-Menge als topologisch leer zu behandeln oder als irrelevant für Stetigkeit: Eine Funktion kann auf einer Maß-null-Menge unstetig sein, was punktuelle Stetigkeit beeinträchtigt. ## Konsequenz Konsequenz Aussagen, die 'fast überall' gelten, und Integrale hängen nur von Äquivalenzklassen modulo Maß-null-Mengen ab; die Änderung einer Funktion auf einer Maß-null-Menge ändert nicht ihre L^p-Klasse. ## Umkehrung Umkehrung Eine Menge von vollem Maß (Komplement einer Maß-null-Menge) enthält die Punkte, die das fast-überall-Verhalten und Integrale bestimmen. ## Abgrenzung Abgrenzung Hängt vom gewählten Maß ab (Lebesgue, Zählmaß, Wahrscheinlichkeit etc.); eine Menge, die bezüglich eines Maßes Maß null hat, kann bezüglich eines anderen Maßes positives Maß besitzen; sagt nichts über die topologische Größe aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Kann mit 'nowhere dense' oder abzählbaren Mengen verwechselt werden: Maß-null bezieht sich auf das Maß, nicht auf topologische Dichte oder Mächtigkeit. ## Synthese Synthese Eine Maß-null-Menge ist eine Teilmenge, die vom gewählten Maß die Größe null erhält; solche Mengen sind für Integration und 'fast überall'-Eigenschaften vernachlässigbar, können aber topologisch oder kombinatorisch groß sein.