##  [Singulärwertzerlegung](/de/node/57854) 

 Definition

Eine Zerlegung einer endlichdimensionalen linearen Abbildung (oder Matrix) A als A = U Σ V^*, wobei U und V unitäre (bzw. orthogonale) Matrizen sind und Σ eine Diagonalmatrix mit nichtnegativen reellen Einträgen (Singulärwerte) ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Sie diagonalisiert die positiv semidefiniten Operatoren A^*A und AA^*, liefert orthonormale Basen von Definitions‑ und Zielraum, die A im kleinsten‑Quadrate‑Sinne optimal diagonalisiert, und existiert stets für beliebige rechteckige Matrizen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine 2×2‑Matrix A berechnet man die Eigenvektoren von A^T A zur Bestimmung von V, setzt die Singulärwerte als Quadratwurzeln der Eigenwerte und erhält U durch U = A V Σ^{-1} für nichtverschwindende Singulärwerte; der größte Singulärwert ist die Operatornorm von A.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Singulärvektoren als Eigenvektoren von A selbst zu interpretieren (statt als Eigenvektoren von A^*A oder AA^*) oder Σ beliebig zu ordnen, führt zu Fehlinterpretationen von Drehungen gegenüber Skalierungen und zu falschen Niedrigrangapproximationen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

SVD liefert Rang, Spektralnormen, stabile numerische Pseudoinverse und beste Niedrigrangapproximationen (Eckart–Young‑Eigenschaft), eingesetzt in Datenkompression, Rauschunterdrückung und Extraktion von Hauptunterräumen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine Eigenwertzerlegung gilt für diagonalisierbare quadratische Matrizen bezüglich einer einzigen Basis; SVD ist eine Zerlegung mit zwei Basen, die auch für rechteckige oder nichtdiagonalisierbare Matrizen existiert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Innenprodukträumen (oder kompakte Operatoren in separablen Hilberträumen); in unendlichen Dimensionen ist Kompaktheit erforderlich und die Singulärwerte häufen sich gegen null.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Im Gegensatz zur Eigenwertzerlegung: Eigenpaare beschreiben die Wirkung in einem Raum und können komplex sein, während SVD ortho‑normale Ein-/Ausgangsbasen und nichtnegative reelle Singulärwerte für jede reale rechteckige Matrix liefert.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

SVD stellt jede endliche lineare Abbildung als Verkettung einer orthogonalen/unitären Rotation, einer achsen‑gerichteten nichtnegativen Skalierung und einer weiteren Rotation dar und liefert robuste spektrale Informationen sowie optimale Approximationen.