##  [Stieltjes-Integral](/de/node/57890) 

 Definition

Ein Integral einer Funktion f bezüglich einer Funktion g, definiert als der Grenzwert der Summen Σ f(t_i)[g(x_{i+1}) - g(x_i)] bei Verfeinerung der Zerlegung; es verallgemeinert das gewöhnliche Integral, indem Integration gegenüber einer Integratorfunktion mit Sprüngen oder singulärem Verhalten erlaubt wird.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Integration paart Funktionswerte mit Inkrementen eines Integrators g; wenn g beschränkte Variation hat, erweitert das Stieltjes‑Integral die klassische Integration um stetige Dichten und diskrete Sprunganteile.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ist g differenzierbar mit Ableitung g', so reduziert sich ∫ f dg auf das gewöhnliche Integral ∫ f(x) g'(x) dx; ist g eine kumulative Sprungfunktion, wird das Integral zur gewichteten Summe der Werte von f an den Sprungstellen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ohne Prüfung der Voraussetzungen die Austauschbarkeit mit maßtheoretischen Integralen anzunehmen oder mit hochoszillierendem oder ohne beschränkte Variation verbleibendem g zu integrieren.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Konstruktion verbindet Integratoren und Maße: Eine Funktion beschränkter Variation definiert ein Vorzeichenmaß, und das Stieltjes‑Integral stellt Integrale gegen dieses Maß wieder her, nützlich in der Wahrscheinlichkeit bei Verteilungsfunktionen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das gewöhnliche Riemann‑Integral ist der Spezialfall g(x) = x; umgekehrt erlaubt das Stieltjes‑Integral allgemeinere Integratoren, einschließlich unstetiger kumulativer Funktionen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Existenz für alle stetigen f ist gesichert, wenn g beschränkte Variation besitzt; für singulärere Integratoren müssen verallgemeinerte Integrationstheorien (Young, Henstock–Kurzweil oder maßtheoretische Rahmen) herangezogen werden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Im Vergleich zum Lebesgue‑Integral betont das Stieltjes‑Integral die Integration bezüglich einer Integratorfunktion statt einer festen Bezugsmaß, mit anderen Regularitäts‑ und Konvergenzanforderungen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Stieltjes‑Integral verallgemeinert klassische Integration, indem Funktionswerte gegen Inkremente eines Integrators aufsummiert werden und so stetige Dichten und diskrete Sprünge in einem Rahmen vereinigt werden.