##  [Fermi‑Dirac‑Verteilung](/de/node/57897) 

 Definition

Die Gleichgewichtsbesetzungswahrscheinlichkeit für fermionische Einteilchenzustände bei Temperatur T und chemischem Potential μ, gegeben durch f(E) = 1 / (exp((E − μ)/kT) + 1), und widerspiegelt das Pauli‑Ausschlussprinzip.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Da Fermionen denselben Quantenzustand nicht mehrfach besetzen können, ist die Besetzungszahl pro Zustand auf [0,1] beschränkt; thermische Anregung und das chemische Potential legen die mittlere Besetzung in Abhängigkeit von der Energie fest.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einem Metall bei niedriger Temperatur sind elektronische Zustände unterhalb des chemischen Potentials (Fermi‑Energie) nahezu vollständig besetzt, darüber nahezu leer; die schrittartige Übergangszone verbreitert sich mit der Temperatur entsprechend kT.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Formel auf Bosonen anzuwenden oder stark wechselwirkende Systeme zu behandeln, ohne Quasiteilchenrenormierungen zu berücksichtigen, führt zu qualitativ falschen Vorhersagen für Besetzung und thermodynamische Eigenschaften.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Verteilung bestimmt die elektronische Wärmekapazität, Beiträge zur elektrischen Leitfähigkeit und die Existenz einer scharfen Fermi‑Oberfläche in schwach wechselwirkenden Fermionsystemen bei niedriger Temperatur.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

In der Hochtemperatur‑ oder Verdünnungsgrenze (|E−μ| ≫ kT) fällt die Fermi‑Dirac‑Funktion in die klassische Maxwell‑Boltzmann‑Exponentialform zurück; Bosonen folgen dagegen einer anderen Besetzungsregel, die Mehrfachbesetzung erlaubt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für fermionische Systeme im thermischen Gleichgewicht, die durch Einteilchenenergieniveaus oder wohldefinierte Quasiteilchen beschrieben werden; schließt nicht‑gleichgewichts Populationen und Regime mit starken Korrelationen aus, in denen Einteilchenbesetzungen nicht anwendbar sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft den Bose‑Einstein‑ und klassischen Verteilungen gegenübergestellt; das entscheidende Unterscheidungsmerkmal ist die Besetzungsobergrenze eins pro Zustand, die aus der Austauschantisymmetrie folgt, nicht nur aus der Ununterscheidbarkeit.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Fermi‑Dirac‑Verteilung verbindet Ausschlussprinzip, thermische Energieskala und chemisches Potential zu einer begrenzten, temperaturabhängigen Besetzungsregel für fermionische Zustände, die das kollektive Verhalten bei tiefen Temperaturen bestimmt.