##  [Komplexer Residuum](/de/node/57905) 

 Definition

Der Koeffizient von (z − z0)^{-1} in der Laurent‑Entwicklung einer komplexen Funktion um eine isolierte Singularität z0; er erfasst das führende singuläre Verhalten der Funktion, relevant für Konturuntegrale.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das lokale Verhalten nahe einer isolierten Singularität ist in der Laurent‑Reihe kodiert; das Residuum ist der eindeutige Koeffizient, dessen Integral um eine kleine Schleife 2πi mal diesen Koeffizienten ergibt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei einem einfachen Pol in z0 ist Res_{z0} f = lim_{z→z0} (z−z0) f(z). Für f(z)=1/(z−z0) ist das Residuum 1 und ∮_C f(z) dz = 2πi.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Residuen an Verzweigungspunkten oder nicht‑isolierten Singularitäten mit der Formel für einfache Pole zu berechnen, führt zu falschen Resultaten; Residuen setzen isolierte Singularitäten oder eine geeignete Behandlung von Verzweigungsschnitten voraus.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Residuen ermöglichen die exakte Auswertung von Konturintegralen und Summen via Residuensatz, reduzieren komplexe Integrale auf algebraische Residuenberechnungen und klassifizieren Singularitäten nach verschwindenden oder nicht verschwindenden Residuen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Nullresiduum an einer isolierten Singularität bedeutet nicht zwingend, dass die Singularität hebbar ist; es kann sich um einen Pol höherer Ordnung handeln, bei dem die (z−z0)^{-1}-Terme sich aufheben.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert nur für isolierte Singularitäten (Pole, hebbare Singularitäten, essentielle Singularitäten) in Gebieten, in denen eine Laurent‑Reihe existiert; nicht definiert für nicht‑isolierte Singularitäten oder über Verzweigungsschnitte ohne Spezifikation.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Oft mit Koeffizienten einer Taylor‑Reihe oder mit dem Hauptteil verwechselt: das Residuum ist speziell der (z−z0)^{-1}‑Koeffizient der Laurent‑Reihe, während andere Koeffizienten regulares Verhalten oder höhergradige Singularitäten beschreiben.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein komplexes Residuum ist der Laurent‑Koeffizient der Ordnung −1 an einer isolierten Singularität, der den lokalen singulären Beitrag kapselt und die Werte umliegender Konturintegrale bestimmt.