##  [Lagrange-Multiplikator](/de/node/57907) 

 Definition

Eine Hilfsvariable, die eingeführt wird, um ein Optimierungsproblem mit differenzierbaren Gleichungsnebenbedingungen in eine Stationaritätsbedingung für eine Lagrange‑Funktion umzuwandeln und so die gleichzeitige Lösung für Variablen und Nebenbedingungen zu ermöglichen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Bildet man die Lagrange‑Funktion L(x,λ)=f(x)+λᵀ g(x) für ein Ziel f und Gleichungsnebenbedingungen g(x)=0, führen die Stationaritätsbedingungen von L bezüglich x und λ zu Kandidaten für eingeschränkte Extrema unter Regularitätsbedingungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Maximiere f(x,y)=xy unter x+y=1. L(x,y,λ)=xy+λ(x+y−1). Löse ∂L/∂x= y+λ=0, ∂L/∂y= x+λ=0, ∂L/∂λ= x+y−1=0 um kritische Punkte und λ zu finden, die die Nebenbedingung erzwingen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Methode anwenden, wenn die Gradienten der Nebenbedingungen in der Lösung null sind (Verletzung der Regularität), oder zweite Ableitungsbedingungen und Randverhalten nicht prüfen, kann zu falschen Lösungen führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Gibt notwendige Bedingungen zur Bestimmung eingeschränkter Extrema und interpretiert Multiplikatoren als Sensitivitäten des optimalen Werts gegenüber infinitesimalen Veränderungen der rechten Seiten der Nebenbedingungen (Schattenpreise).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Man kann Multiplikatoren durch direkte Lösung der Nebenbedingungen (Substitution) eliminieren; Multiplikatoren treten bei impliziter Eliminierung als unbestimmte Konstanten wieder auf.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert differenzierbare Zielfunktion und Nebenbedingungen und gilt für Gleichungsnebenbedingungen; Ungleichungsnebenbedingungen benötigen KKT‑Bedingungen und komplementäre Schlupfbedingungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Im Gegensatz zu Straf‑ und Barrierenmethoden: Multiplikatoren erzwingen Nebenbedingungen exakt in Stationarität und liefern duale Informationen, während Strafmethoden Nebenbedingungen approximieren und das Konditionieren verschlechtern können.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Lagrange‑Multiplikator ist eine Hilfsvariable, die glatte Gleichungsnebenbedingungen erzwingt, indem eine Lagrange‑Funktion gebildet wird, deren Stationaritätsbedingungen Kandidaten für eingeschränkte Extrema und Sensitivitätsinformationen liefern.