## [Tensorkontraktion](/de/node/57923) Definition Eine Indexoperation, die über ein Paar aus einem kovarianten und einem kontravarianten Index eines Tensors summiert und so einen Tensor niedrigerer Ordnung (möglicherweise ein Skalar) erzeugt. ## Prinzip Prinzip Nutze die natürliche Paarung zwischen einem Vektorraum und seinem Dual, um gepaarte Slots zu eliminieren, Tensorordnung zu reduzieren und dabei die Koordinatenkovarianz zu erhalten. ## Demonstration Demonstration Gegeben T^i_{jk} und Vektor v^j ergibt die Kontraktion in j S^i_k = T^i_{jk} v^j. Die Kontraktion g_{ij} mit g^{jk} liefert δ_i^k (Kronecker-Delta). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Indizes gleicher Varianz (z. B. zwei kontravariante Indizes) ohne Heben/Senken mittels Metrik zusammenzuzählen, wodurch ein Objekt entsteht, das sich nicht tensoral transformiert. ## Konsequenz Konsequenz Erzeugt invariante Skalare (Spuren) und Tensoren niedrigerer Ordnung, die für Divergenzen, Spuren und Kompositionen verwendet werden; kodiert koordinatenunabhängige Auswertungen. ## Umkehrung Umkehrung Tensorprodukt: verbindet Tensoren durch Anhängen von Indexslots ohne Summation und erhöht so die Ordnung statt sie zu verringern. ## Abgrenzung Abgrenzung Erfordert sorgfältige Beachtung der Indexvarianz und vorhandener Metriken zum Heben/Senken; in indexfreiem Formalismus entspricht Kontraktion der Evaluation/Komposition multilinearer Abbildungen; nicht definiert, wenn kein Dualpaar vorhanden ist oder falsch angewandt wird. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Im Gegensatz zur indexfreien Komposition: Kontraktion kann als Komposition/Evaluation linearer Abbildungen verstanden werden, doch Verwechslungen mit elementweiser Multiplikation oder innerem Produkt (das eine Metrik braucht) sind häufig. ## Synthese Synthese Kontraktion ist die kanonische Summation gepaarter Dualindizes, die die Tensorordnung mittels der Vektor–Kovektor-Paarung reduziert und koordinateninvariante Spuren und Kompositionen erzeugt.