##  [Runge–Kutta-Verfahren](/de/node/57974) 

 Definition

Eine Familie expliziter und impliziter einstufiger numerischer Integrationsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen, die die Lösung durch gewichtete Auswertungen der rechten Seite innerhalb jedes Schritts annähern.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Man schreitet von tn nach tn+1 vor, indem man Zwischenabschätzungen der Steigung (Stages) an gewählten Punkten im Schritt berechnet und sie mit Gewichten kombiniert, um eine höherordentliche Inkrement zu erzeugen; Ordnung und Stabilität hängen von den Stage-Koeffizienten und dem impliziten Charakter ab.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Das klassische explizite Verfahren 4. Ordnung berechnet vier Stages k1=f(tn,yn), k2=f(tn+Δt/2, yn+Δt k1/2), k3=f(tn+Δt/2, yn+Δt k2/2), k4=f(tn+Δt, yn+Δt k3) und setzt yn+1 = yn + (Δt/6)(k1+2k2+2k3+k4), was für glatte Probleme lokalen Fehler O(Δt^4) liefert.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Anwendung eines expliziten hochordentlichen Runge–Kutta-Verfahrens auf ein steifes System mit großen Eigenwerten der Linearisierung kann unpraktisch kleine Schritte und Instabilität erzwingen; das Vernachlässigen adaptiver Schrittsteuerung bei unregelmäßigen rechten Seiten führt ebenfalls zu Fehlerwachstum.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtig gewählt (Ordnung und Stabilitätsbereich) liefern Runge–Kutta-Verfahren kontrollierte lokale und globale Fehler, sind einfach zu implementieren und lassen sich in adaptive Schrittgrößenregler einbinden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehridee führt zu Verfahren, die auf multistep-Vergangenheit statt auf interne Stages beruhen; Multistep-Methoden tauschen interne Auswertungen pro Schritt gegen Abhängigkeit von mehreren früheren Werten der Lösung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen; nicht unmittelbar geeignet für Randwertprobleme ohne Umformulierung, und implizite Varianten erfordern in jedem Schritt nichtlineare Löser.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Konkurrenz bilden lineare Mehrschrittverfahren, die vergangene Schritte wiederverwenden, um Ordnung zu erreichen, jedoch unterschiedliche Stabilitätsbeschränkungen aufweisen; Runge–Kutta betont Stages pro Schritt zur Erzeugung von Ordnung und Einfachheit.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Runge–Kutta-Verfahren bauen höherordentliche einstufige Integratoren, indem sie das Differentialoperator innerhalb jedes Schritts abtasten und diese Proben gewichtet kombinieren, um den exakten Fluss unter Abwägung von Genauigkeit und Stabilität zu approximieren.