## [Fourierreihe](/de/node/58007) Definition Eine Darstellung einer periodischen Funktion auf einem Intervall als (gegebenenfalls unendliche) Summe von sinusförmigen Basisfunktionen oder komplexen Exponentialen mit diskreten Frequenzen und zugehörigen Koeffizienten. ## Prinzip Prinzip Die Orthogonalität der trigonometrischen Basisfunktionen über die Periode liefert eindeutige Expansionskoeffizienten, die den Frequenzgehalt des Signals erfassen. ## Demonstration Demonstration Stellt man die Rechteckschwingung auf [-π,π] als Summe ungerader Sinusterms dar, deren Koeffizienten wie 1/n abfallen, so wird die Wellenform bis auf die Gibbs-Überschwinger an Sprungstellen reproduziert. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Verwendung einer endlichen Fourierreihe zur Modellierung einer nichtperiodischen Funktion ohne geeignete Periodisierung führt zu Artefakten und falscher Extrapolation außerhalb der Periode. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglicht die Verbindung zwischen Zeit- und Frequenzbereich für periodische Signale und erlaubt spektrales Filtern, Modalanalyse und die Lösung von PDEn mit periodischen Randbedingungen. ## Umkehrung Umkehrung Statt in diskrete Harmonische zu zerlegen (Fourierreihe) kann man nichtperiodische Signale durch eine kontinuierliche Spektrumsdarstellung beschreiben, die Energie anders verteilt (z. B. Fouriertransformierte). ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Funktionen auf einem kompakten Intervall mit periodischer Fortsetzung oder in L2 des Kreises; gilt nicht automatisch für beliebige nichtperiodische Distributionen ohne Fortsetzung oder verallgemeinerte Konvergenzbegriffe. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht im Wettbewerb mit lokalisierten Entwicklungen (Wavelets, fensterbasierte Transform) die statt globaler Sinusbasis Zeit-Frequenz-Lokalisierung bieten. ## Synthese Synthese Ein Verfahren, das periodische Signale mittels orthogonaler sinusförmiger Basen als diskreten Satz harmonischer Koeffizienten darstellt; nützlich für globale Frequenzanalyse, jedoch empfindlich gegenüber Diskontinuitäten und Nicht-PERIODIZITÄT.