##  [Adjungiertenmethode](/de/node/58016) 

 Definition

Eine rechnerische Technik, die Gradienten einer Zielfunktion hinsichtlich vieler Parameter durch Lösen einer Hilfs-(Adjungierten-)PDE berechnet, welche aus der Lagrange-Formulierung des Vorwärtsproblems abgeleitet wird.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Lagrange-Funktion mit Nebenbedingungen für die Vorwärts-PDE und Parameter aufstellen, die Adjungierten-Gleichung durch Stationarität bezüglich des Vorwärtszustands ableiten und den Gradienten als Skalarprodukt des Adjungen mit der Parameterableitung des Vorwärtsoperators berechnen; der Aufwand ist im Wesentlichen unabhängig von der Parameterauszahl.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Kalibrierung eines räumlich variablen Diffusionskoeffizienten: Vorwärts-Diffusions-PDE lösen, Adjungierte PDE mit Fehlertermin/Quelle lösen und danach den Gradienten durch lokale Integrale der Vorwärts- und Adjungierten-Felder berechnen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Adjungierte einer linearisierten Modellversion verwenden, obwohl die Vorwärtsabhängigkeit stark nichtlinear ist, ohne Re-Linearisation, oder nondifferenzierbare Regularisierer fälschlich als glatt behandeln, was zu falschen Gradienten und scheiternder Optimierung führt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht effiziente gradientenbasierte Optimierung und Sensitivitätsanalyse für hochdimensionale Parametersätze und reduziert die Rechenkosten von einer Vorwärtslösung pro Parameter auf eine Vorwärts- und eine Adjungierten-Lösung pro Zielfunktionsauswertung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Vorwärtssensitivitätsmethode differenziert das Vorwärtsproblem für jeden Parameter einzeln; sie ist schlicht, skaliert jedoch linear mit der Anzahl der Parameter und wird bei vielen Parametern unpraktisch.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt ein wohlgestelltes Vorwärtsproblem mit differenzierbarer Parameterabhängigkeit und korrekter Angabe von Rand-/Endbedingungen voraus; nicht direkt anwendbar auf nondifferenzierbare Ziele, diskrete Parameter oder stochastische Formulierungen ohne Modifikation.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Unterscheidet sich von automatischer Differentiation des diskretisierten Codes: Der kontinuierliche Adjunkt leitet die PDE-ebene Adjungen-Gleichung vor der Diskretisierung ab, während der diskrete Adjunkt das numerische Schema differenziert; beide können übereinstimmen, haben aber unterschiedliche Stabilitäts- und Implementierungsfolgen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Verfahren, das die Sensitivitätsberechnung bei PDE-gekoppelten Zielen in das Lösen einer Adjungierten-PDE überführt, sodass Gradienten mit dem Aufwand einer zusätzlichen Lösung bereitgestellt werden und Optimierung in großem Parameterspace skalierbar wird.