##  [Operatorzerlegung (Operator-Splitting)](/de/node/58018) 

 Definition

Eine numerische Strategie zur Approximation der Lösung einer Evolutionsgleichung, deren Erzeuger Summe mehrerer Operatoren ist, indem die Flüsse oder Lösungoperatoren der einzelnen Teile sukzessive auf Unterzeitschritte angewendet werden.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Exp((A+B)Δt) durch Kompositionen von Exp(A Δt_i) und Exp(B Δt_j) approximieren, sodass der lokale Fehler durch Kommutatoren [A,B] kontrolliert wird; höhere Ordnung erreicht man durch symmetrische Kompositionen und angepasste Unterzeitschritte.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Advektion–Diffusion durch abwechselnde Anwendung eines Advektionsschritts (konservatives Transportverfahren) und eines Diffusionsschritts (impliziter elliptischer Löser) lösen; Strang-Splitting verwendet eine halbe Diffusionsstufe, eine volle Advektionsstufe und erneut eine halbe Diffusionsstufe für zweite Genauigkeit.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Steife oder stark nichtkommutierende Operatoren mit großen Zeitschritten splitten, ohne Kommutatorfehler oder Stabilität zu berücksichtigen, was zum Verlust konservierter Größen, zu künstlichen Oszillationen oder zur numerischen Instabilität führt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Erlaubt den Einsatz spezialisierter Löser für Teilprobleme, reduziert Implementierungsaufwand und verbessert oft Effizienz und Stabilität bei Multi-Physik-Problemen, wenn Zeitschritte und Reihenfolge passend gewählt werden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein monolithischer Integrator behandelt den kombinierten Operator direkt; er kann globale Invarianten bewahren und Kopplungen implizit behandeln, erfordert aber meist das Lösen eines komplexeren gekoppelten Systems.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für zeitorientierte Halbgruppen oder Flüsse, bei denen Teiloperatoren lösbare Unterschritte erzeugen; ungeeignet, wenn das Splitten essentielle Nebenbedingungen (z. B. Positivität, Massenerhalt) verletzen würde, sofern nicht korrigiert.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb mit IMEX-Zeitschritten und vollständig impliziten Lösern: IMEX trennt steife und nicht-steife Terme innerhalb eines Integrators, während Operator-Splitting getrennte Löser kombiniert und split-spezifische Fehler einführen kann.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Kompositionsintegrationstechnik, die komplexe Evolutionsoperatoren in einfachere Teilflüsse zerlegt und so eine kontrollierbare Split-Fehlerrate gegen Modularität und rechnerische Effizienz eintauscht, wenn Teiloperatoren unabhängig leichter zu lösen sind.