##  [Dimensionsregularisierung](/de/node/58022) 

 Definition

Eine Methode, divergente Integrale endlich zu machen, indem man die Anzahl der Integrationsdimensionen analytisch auf d = D − ε fortsetzt, Polsingularitäten in ε isoliert und finite renormierte Größen durch Subtraktion dieser Pole extrahiert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Schleifen- oder divergente Integrale in stetiger Dimension d auswerten, Ergebnisse als Laurentreihe um ε = 0 entwickeln, 1/ε-Polstellen als UV- (oder IR-) Divergenzen identifizieren und diese mittels einer renormierungs­vorschrift entfernen, die relevante Symmetrien erhält.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ein Ein-Schleifen-Impulsintegral in einer Feldtheorie regulieren, indem man in d = 4 − ε rechnet, das Ergebnis erweitert, um einen 1/ε-Pol zu exponieren, und diesen Pol in die Umdefinition von Kopplungskonstanten absorbiert, um finite renormierte Amplituden zu erhalten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Dimensionale Fortsetzung in Schritten anwenden, die implizit ganzzahlige topologische Identitäten (z. B. Chiraliealgebra oder Epsilontensor-Identitäten) voraussetzen, ohne diese Relationen anzupassen, was zu Inkonsistenzen führen kann, besonders in Theorien, die empfindlich auf die Parität der Dimension reagieren.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet einen symmetrieerhaltenden Regulator (insbesondere für Eichtheorien), der Divergenzen sauber als Dimensionspole isoliert und systematische perturbative Renormierung sowie Berechnung anomalous dimensions erleichtert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine harte Impulscutoff-Regulierung führt eine explizite Skala ein und kann Symmetrien brechen; alternative Regulatoren (Pauli–Villars, Gitter) haben andere Symmetrie- und Praxis-Trade-offs gegenüber dimensionaler Regularisierung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für perturbative Integrale, die als analytische Funktionen der Dimension darstellbar sind und für renormierbare Entwicklungen; keine Universalheilung für nichtperturbative Divergenzen oder für Formulierungen, die an feste ganzzahlige Dimensionstopologien gebunden sind ohne sorgfältige Behandlung.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Unterscheidet sich von Zeta-Funktions- oder Cutoff-Regulatoren: Dimensionale Regularisierung setzt Integrale in der Dimension fort und isoliert Pole in ε, während andere Regulatoren durch Spektralfortsetzung oder explizite Cutoffs regulieren; alle haben unterschiedliche Auswirkungen auf Symmetrien und Interpretation.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein analytischer Fortsetzungsregulator, der die Integrationsdimension verschiebt, um Divergenzen als ε-Polstellen sichtbar zu machen, wodurch symmetrieerhaltende Subtraktionen und systematische perturbative Renormierung divergenter Integrale möglich werden.