## [Kovarianzmatrix](/de/node/58026) Definition Eine quadratische Matrix, deren Eintrag (i,j) die Kovarianz zwischen der i‑ten und j‑ten Komponente eines Zufallsvektors ist; sie kodiert paarweise lineare Streuung und Skalierung zwischen Komponenten. ## Prinzip Prinzip Sammelt Informationen der zweiten Momente: Erwartungswerte von Paarprodukten minus Produkt der Erwartungswerte berechnen; die Matrix ist symmetrisch und positiv semidefinit und spiegelt Varianz sowie lineare Abhängigkeiten wider. ## Demonstration Demonstration Bei n unabhängigen d‑dimensionalen Beobachtungen x₁,…,x_n ergibt die Stichprobenkovarianzmatrix S = (1/(n-1)) ∑ (x_i − 9x)(x_i − 9x)^T den Eintrag S_{jk} als Stichprobenkovarianz zwischen Koordinaten j und k. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Das Ziehen der Schlussfolgerung, dass Nullkovarianz vollständige Unabhängigkeit bedeutet (Nullkovarianz schließt nichtlineare Abhängigkeit nicht aus), oder die Anwendung der Stichprobenkovarianz auf stark nichtstationäre Reihen ohne Detrending. ## Konsequenz Konsequenz Korrekte Anwendung liefert Richtungen großer und kleiner Variabilität, informiert lineare Schätzer und Fehlerfortpflanzung, definiert Mahalanobis‑ähnliche Distanzen und parametrisiert die Streuung einer multivariaten Normalverteilung. ## Umkehrung Umkehrung Die Präzisionsmatrix (Inverse der Kovarianz, falls vorhanden) betont bedingte Beziehungen und Sparsamkeitsmuster statt marginaler Kovarianzen. ## Abgrenzung Abgrenzung Fasst nur paarweise lineare Beziehungen zweiten Ordnung zusammen und setzt endliche zweite Momente voraus; sie erfasst keine nichtlinearen Abhängigkeiten oder höhere Momente und kann bei kleiner Stichprobe im Vergleich zur Dimension schlecht konditioniert sein. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Korrelationsmatrix ist eine normalisierte Form der Kovarianzmatrix; Verwechslung entsteht, wenn skalenabhängige Kovarianzen mit dimensionslosen Korrelationen verglichen werden. ## Synthese Synthese Die Kovarianzmatrix ist die symmetrische positiv semidefinite Matrix paarweiser Kovarianzen, die linearer Streuung und Skalenbeziehungen einer multivariaten Verteilung kompakt beschreibt.