##  [Wavelet-Transformation](/de/node/58092) 

 Definition

Eine Darstellung einer Funktion oder eines Signals durch Koeffizienten, die aus Skalarprodukten mit einer Familie lokalisierter, skalenveränderter und verschobener Basisfunktionen (Wavelets) gewonnen werden und sowohl Skalen- als auch Ortsinformationen kodieren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Zerlegung eines Signals in Komponenten auf mehreren Skalen durch Anwendung von Dilatations- und Translationsoperatoren auf ein kompakt unterstütztes oder schnell abklingendes Prototyp; Koeffizienten zeigen lokalisierte Merkmale auf verschiedenen Auflösungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Berechnung der kontinuierlichen Wavelet-Transformation eines transienten Audiosignals mit einer Morlet-Wavelet: die Transformation liefert für kleine Skalen stark ausgeprägte Koeffizienten lokal um das Impulszeitpunkt und für große Skalen einen anhaltenden niederfrequenten Koeffizienten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anwenden von Schrumpfungen auf Wavelet-Koeffizienten, als wären diese unabhängig und aus weißem Rauschen, obwohl das Rauschen korreliert ist, was zu verzerrtem Entrauschen und Artefakten führt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht spärliche, multiskalige Darstellungen, die lokales Entrauschen, Kompression, Kantenerkennung und skalenabhängige Merkmalsextraktion erlauben.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine rein globale Frequenzbasis (stationäre Sinus-/Kosinus-Basis) priorisiert Frequenzauflösung zulasten der zeitlichen oder räumlichen Lokalisation.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für Funktionen oder diskrete Signale in L2 oder geeigneten Folgenräumen und für kontinuierliche oder diskrete Implementierungen; nicht anwendbar auf Objekte ohne Skalen- oder Translationsbegriff.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Konkurrenzverhältnis zur kurzzeitigen Fourier-Transformation: Beide lokalisieren in Zeit und Frequenz, Wavelets passen jedoch die Auflösung mit der Skala an, während die Fenster-Fourier feste Auflösung verwendet.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Wavelet-Transformation ist eine skalenlokalisierte lineare Zerlegung, die ein Signal als Summe lokalisierter Bausteine darstellt und zwischen Zeit (oder Raum) und Skala aufteilt, um multiskalige Struktur zu offenbaren.