##  [Hesse-Matrix](/de/node/58094) 

 Definition

Die quadratische Matrix der partiellen zweiten Ableitungen einer skalaren, zweimal differenzierbaren Funktion; sie kodiert die lokale Krümmung und den quadratischen Term der Taylor-Entwicklung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Sammle die zweiten partiellen Ableitungen ∂^2 f / ∂x_i ∂x_j in einer symmetrischen Matrix, wenn gemischte Partielle gleich sind; verwende sie zur quadratischen Approximation f(x + h) ≈ f(x) + ∇f(x)⋅h + (1/2) h^T H h.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für f(x,y) = 3x^2 + x y + sin(y) ist die Hesse-Matrix am Punkt (x,y) [[6,1],[1,-sin(y)]], welche Krümmungsrichtungen und -stärken dort bestimmt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Hesse-Matrix an einem Punkt zu verwenden, an dem die Funktion nicht zweimal differenzierbar ist, oder Sprünge in zweiten Ableitungen zu ignorieren, führt zu fehlerhaften Krümmungsschlüssen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist sie wohl definiert, klassifiziert die Hesse-Matrix lokale Extrema (über Definitheit), steuert Schrittwahl in Zweitordnungs-Optimierungsverfahren und beschreibt lokale anisotrope Krümmung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Der Gradient liefert Informationen erster Ordnung über richtungsabhängige Veränderungen, enthält jedoch keine direkten Krümmungsdaten; allein auf Gradienten zu bauen, vernachlässigt das Zweitordnungsverhalten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für skalare Funktionen mit existierenden zweiten partiellen Ableitungen in einer Umgebung; nicht definiert für nicht differenzierbare Funktionen oder für vektorwertige Funktionen ohne skalare Repräsentation.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Eng verwandt mit der Jacobimatrix bei vektorwertigen Abbildungen: Die Jacobi sammelt erste Ableitungen, die Hesse zweite Ableitungen für skalare Felder — das kann bei unterschiedlichen Domain-/Codomain-Typen zu Verwechslungen führen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Hesse-Matrix ist das kanonische Objekt zweiter Ableitungen, das lokale Krümmung in eine symmetrische quadratische Form bündelt und für Extrema-Analyse sowie zweitordentliche Approximation zentral ist.