## [Hauptkomponentenanalyse (PCA)](/de/node/58102) Definition Ein lineares Verfahren zur Dimensionsreduktion, das orthogonale Richtungen (Hauptkomponenten) im Datenraum findet, die sukzessive die Varianz maximieren; berechnet durch Eigenzerlegung der empirischen Kovarianz oder Singulärwertzerlegung der Datenmatrix. ## Prinzip Prinzip Projektion der Daten auf eine Orthonormalbasis, die die Struktur des empirischen zweiten Moments diagonalisiert; das Beibehalten der Top-k-Komponenten liefert die beste k-dimensionale lineare Approximation im mittleren quadratischen Fehler unter orthogonalen Projektionen. ## Demonstration Demonstration Für zentrierte Stichproben in R^d die Kovarianzmatrix berechnen, ihre dominanten Eigenvektoren finden und die Daten auf den von diesen Vektoren aufgespannten Raum projizieren, um zu komprimieren und Rauschen zu reduzieren bei maximaler Erhaltung linearer Varianz. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Hauptkomponenten als kausale Faktoren zu interpretieren, PCA auf stark nichtlinearen Mannigfaltigkeiten ohne Vorverarbeitung anzuwenden oder PCA auf unzentrierten Daten zu verwenden, wodurch die Hauptachsen zur Mittelwertverschiebung tendieren. ## Konsequenz Konsequenz Erzeugt unkorellierte Koordinaten, geordnet nach erklärter Varianz, ermöglicht Kompression, Visualisierung und Rauschreduktion, wenn dominante Richtungen die Signalstruktur erfassen. ## Umkehrung Umkehrung Die Projektion auf niedrigvarianzige Komponenten erfasst wenig Varianz und betont oft Rauschen; probabilistische Faktormodelle kehren PCAs deterministische Varianzmaximierung um, indem sie latente Variablen mit Rauschmodell einführen. ## Abgrenzung Abgrenzung Setzt lineare Beziehungen und Zweitmomentsuffizienz voraus; ist nicht optimal für nichtlineare struktur-erhaltende Reduktionen (Manifold Learning) oder für schwerverteilte Daten ohne robuste Kovarianzschätzung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Im Gegensatz zur Faktorenanalyse oder ICA: PCA maximiert orthogonal die Varianz ohne explizites generatives Rauschmodell, während konkurrierende Verfahren latente-Variablen- oder Unabhängigkeitsannahmen machen. ## Synthese Synthese Eine orthogonale Projektion, die die Kovarianz diagonalisiert, um geordnete lineare Modi maximaler Varianz zu extrahieren und damit eine k-dimensionale Least-Squares-optimale lineare Zusammenfassung für zentrierte Daten liefert.