## [Convexe Hülle](/de/node/58146) Definition Die konvexe Hülle einer Menge S in einem reellen Vektorraum ist die kleinste konvexe Menge, die S enthält; äquivalent ist sie die Menge aller endlichen konvexen Kombinationen von Punkten aus S. ## Prinzip Prinzip Die konvexe Hülle schließt eine Menge unter konvexen Kombinationen — Mischung von Punkten mit nichtnegativen Koeffizienten, deren Summe eins ist — und erzeugt so die minimale konvexe Obermenge. ## Demonstration Demonstration Für drei nichtkollineare Punkte in R^2 ist ihre konvexe Hülle das ausgefüllte Dreieck mit diesen Punkten als Eckpunkten; jeder Innenpunkt lässt sich als λ1x1+λ2x2+λ3x3 mit λi≥0 und ∑λi=1 schreiben. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die konvexe Hülle mit der affinen Hülle zu verwechseln (die beliebige lineare Kombinationen mit Summenkoeffizient eins, aber erlaubten negativen Koeffizienten, gestattet) oder anzunehmen, die konvexe Hülle erhalte topologische Eigenschaften wie Abschluss in unendlichdimensionalen Räumen ohne Abschlussbildung. ## Konsequenz Konsequenz Die Berechnung konvexer Hüllen liefert Polytope oder konvexe Mengen, die in Optimierung, Stützfunktionalen und Trennungssätzen verwendet werden; Carathéodory-artige Sätze begrenzen die Zahl der benötigten Punkte zur Darstellung eines Elements. ## Umkehrung Umkehrung Die komplementäre Betrachtung sind die extremen Punkte: Während die konvexe Hülle Punkte aggregiert, um Innere zu bilden, identifiziert die Extraktion extremer Punkte die irreduziblen Erzeuger der konvexen Menge. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition setzt einen Vektorraum über R (oder einen geordneten Körper) voraus und gilt in endlichen wie unendlichen Dimensionen; in unendlichdimensionalen Topologien ist zwischen Hülle und abgeschlossener konvexer Hülle zu unterscheiden und der Abschluss zu berücksichtigen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Konvexe Kombination versus lineare Kombination: Konvexe Kombinationen verlangen nichtnegative Koeffizienten, deren Summe eins ist, und ergeben konvexe Hüllen; lineare Kombinationen erlauben negative Skalare und erzeugen lineare Spannweiten — zwei verschiedene Abschlussoperationen. ## Synthese Synthese Die konvexe Hülle ist die kleinste konvexe Menge, die S enthält, gebildet aus allen endlichen konvexen Kombinationen von S und die grundlegende konvexe Abschlussoperation in Geometrie und Optimierung.