##  [Metropolis–Hastings-Algorithmus](/de/node/58154) 

 Definition

Ein Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren, das eine reversible Markov-Kette konstruiert, deren stationäre Verteilung einer gegebenen Zielverteilung entspricht, indem Kandidaten vorgeschlagen und mit einer Wahrscheinlichkeit akzeptiert werden, die das Detailgleichgewicht erzwingt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Iterativ Kandidaten aus einem Vorschlagskernel vorschlagen und gemäß einem Akzeptanzverhältnis akzeptieren oder ablehnen, das Asymmetrien der Vorschläge und die Zieldichte korrigiert, sodass die Invariante der Kette der Zielverteilung entspricht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Um eine Posterior-Dichte p(θ|Daten) zu sampeln, wähle einen Vorschlag q(θ'|θ); von Zustand θ schlage θ' vor und akzeptiere mit Wahrscheinlichkeit min(1, [p(θ') q(θ|θ')] / [p(θ) q(θ'|θ)]) ; akzeptierte Zustände bilden eine Kette, die gegen p konvergiert.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Schlecht skalierte symmetrische Vorschläge in hochdimensionalen Problemen ohne Anpassung zu verwenden, führt zu sehr langsamem Mixing und verzerrten Endlichkeits-Schätzungen wegen unzureichender Exploration.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bei geeigneter Wahl von Vorschlägen und Diagnostik liefert es asymptotisch verteilte Stichproben gemäß der Zielverteilung und ermöglicht konsistente Schätzung von Erwartungen unter dieser Verteilung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein direkter unabhängiger Sampler, der IID-Stichproben aus der Zielverteilung in einem Schritt zieht, würde den Bedarf an Markov-Übergängen aufheben; solche Sampler sind nur möglich, wenn die Zielverteilung direkt handhabbar ist.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Zielverteilungen, die bis auf eine Normierungskonstante bekannt sind, und erfordert die Möglichkeit, unnormierte Dichten zu bewerten und aus dem Vorschlag zu ziehen; nicht anwendbar, wenn beides nicht möglich ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wettbewerbt mit anderen Sampling-Strategien (z. B. Importance Sampling, sequentielle Methoden); die Spannung liegt im Trade-off zwischen asymptotischer Genauigkeit, Effizienz bei endlicher Stichprobe und Aufwand zum Abstimmen der Vorschläge.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Metropolis–Hastings balanciert lokale Vorschlagsschritte mit einer Akzeptanzkorrektur aus, um eine reversible Markov-Kette zu erzeugen, deren stationäre Verteilung die gewünschte Zielverteilung ist und die durch iterative Akzeptanz–Ablehnung asymptotisch exakte Stichproben liefert.