##  [Detailliertes Gleichgewicht](/de/node/58161) 

 Definition

Eine Bedingung für einen Markov-Prozess mit stationärer Verteilung π, dass für jedes Paar von Zuständen i,j die Wahrscheinlichkeitsflüsse ausbalanciert sind: π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, was Zeitumkehrsymmetrie (Reversibilität) impliziert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Detailliertes Gleichgewicht besagt, dass unter der invarianten Maß π die Ein-Schritt-Transitionsrate von i nach j der von j nach i entspricht, sodass mikroskopische Übergänge im Gleichgewicht auslöschen und der Prozess statistisch nicht von seinem Zeitumkehrbild zu unterscheiden ist.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen zufälligen Spaziergang auf einem ungerichteten Graphen mit Übergangswahrscheinlichkeiten P_{ij}=1/deg(i) zu Nachbarn erfüllt die stationäre Maßnahme π_i ∝ deg(i) π_i P_{ij} = π_j P_{ji}, was detailliertes Gleichgewicht und Reversibilität zeigt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu unterstellen, dass jede stationäre Verteilung detailliertes Gleichgewicht bedeutet; Stationarität (πP=π) verlangt keine paarweise Flussgleichheit und viele stationäre Ketten sind nicht-reversibel und besitzen Netto-Wahrscheinlichkeitsströme.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wenn detailliertes Gleichgewicht gilt, ist die Kette reversibel, die Spektralanalyse vereinfacht sich (Selbstadjungiertheit in gewichteten L^2(π)), Erwartungswerte im Gleichgewicht gehorchen zeitlicher Symmetrie, und Konvergenzdiagnosen sowie Stichprobenverfahren (z.B. MCMC) können Reversibilität ausnutzen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Bricht man das detaillierte Gleichgewicht, entstehen irreversible Dynamiken mit nichtverschwindender Zirkulation im Zustandsraum und asymmetrischen Flüssen π_i P_{ij} ≠ π_j P_{ji}, was das Mischen verbessern oder stationäre Ströme erzeugen kann, die in reversiblen Ketten fehlen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Markov-Ketten und Markov-Prozesse mit wohldefinierten Übergangskernen und einer invarianten Maßnahme; nicht anwendbar auf nicht-markovsche Prozesse, Prozesse ohne invariante Maßnahme oder Fälle, in denen Übergänge nicht paarweise vergleichbar sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft mit Stationarität verwechselt: Stationarität verlangt globale Balance von Zu- und Abflüssen für jeden Zustand, detailliertes Gleichgewicht ist eine stärkere paarweise Bedingung, die Stationarität impliziert, aber nicht umgekehrt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Detailliertes Gleichgewicht verlangt die Gleichheit paarweiser Wahrscheinlichkeitsflüsse unter der invarianten Maßnahme und macht den Markov-Prozess reversibel; es ist eine strengere Symmetriebedingung als bloße Stationarität und hat starke spektrale sowie Stichprobenfolgen.