## [Mittlere Krümmung](/de/node/58184) Definition Eine extrinsische skalare Größe, die angibt, wie eine Fläche im umgebenden Raum gekrümmt ist; an einem Punkt definiert als der Mittelwert der beiden Hauptkrümmungen, gewöhnlich H = (k1 + k2)/2; gleich der Hälfte der Spur des Gestaltoperators. ## Prinzip Prinzip Die mittlere Krümmung ergibt sich als erste Variation der Fläche: ihr Verschwinden kennzeichnet stationäre Punkte des Flächenfunktionals unter normalen Deformationen; das Vorzeichen hängt von der Orientierungs-Konvention ab. ## Demonstration Demonstration Eine Seifenhaut, die einen Drahtrahmen überspannt, bildet eine Fläche mit H≈0 (Minimalfläche); eine Kugel mit Radius R hat H = 1/R, gerichtet zum Zentrum bei äußerer Normalenkonvention. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die mittlere Krümmung fälschlich als intrinsisches Invariant der Flächenmetrik zu interpretieren oder H an Punkten ohne gewählte Einheitsnormalen (nicht orientierbare Flächen) ohne Orientierungsspezifikation anzuwenden. ## Konsequenz Konsequenz Flächen mit H=0 minimieren die Fläche bis zur ersten Ordnung und erfüllen elliptische PDG für graphische Parametrisierungen; Probleme mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung liefern physikalisch relevante Formen (z. B. Kapillar-Oberflächen). ## Umkehrung Umkehrung Die Gaußsche Krümmung multipliziert die Hauptkrümmungen und ist intrinsisch; das Ersetzen des Mittels durch das Produkt ändert Invarianz und geometrische Interpretation grundlegend. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert dort, wo die Fläche mindestens C^2 ist und eine Orientierung (Einheitsnormalen) gewählt ist; Vorzeichen und Existenz versagen an Singularitäten, bei nicht orientierbaren Flächen ohne lokale Orientierung oder für Distributionen ohne zweite Ableitungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht eine Spannung zwischen der mittleren Krümmung als extrinsischer Biegemaß und ihrer variationellen Rolle als Euler–Lagrange-Gleichung für die Fläche; Vorzeichenkonventionen und die vektorielle mittlere Krümmung sind übliche Unklarheitsquellen. ## Synthese Synthese Die mittlere Krümmung ist der orientierte Mittelwert der Hauptkrümmungen, ein extrinsisches Krümmungsskalar, das die erste Flächenvariation steuert und in geometrischen PDG von Minimal- und Kapillarflächen erscheint.