##  [Schwache Lösung (Einer Partiellen Differentialgleichung)](/de/node/58188) 

 Definition

Eine Funktion, die eine partielle Differentialgleichung im integrierten oder distributionellen Sinn gegenüber einer vorgegebenen Klasse von Testfunktionen erfüllt und damit eine geringere Regularität erlaubt als klassische (punktweise differenzierbare) Lösungen; meist formuliert in Sobolev- oder Distributionsräumen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die PDG wird mit glatten, kompakt unterstützten Testfunktionen multipliziert und formal partiell integriert, um Ableitungen auf die Testfunktionen zu übertragen; die schwache Formulierung lockert die Ableitungsanforderungen und kodiert Randbedingungen über die Wahl des Testraums oder Spurterme.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beim Poisson-Problem −Δu = f auf einem Gebiet mit Dirichlet-Randbedingungen und f∈L^2 sucht man u∈H^1_0 mit ∫∇u·∇v = ∫ f v für alle Testfunktionen v∈H^1_0; diese variationale schwache Formulierung liefert Existenz und Eindeutigkeit durch den Lax–Milgram-Satz.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine schwache Lösung wie eine punktweise klassische zu behandeln (punktweise Gleichheiten zu behaupten, obwohl keine punktweisen Ableitungen existieren) oder die Rolle von Randspur-Räumen bei der Interpretation von Randbedingungen zu vernachlässigen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Schwache Formulierungen erweitern die Existenztheorie (zulässige Lösungen in Sobolev-Räumen), ermöglichen variationale Methoden und Galerkin-Approximationen (FEM) und erlauben Stabilitäts- und Kompaktheitsargumente, die im klassischen Rahmen scheitern.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine klassische (starke) Lösung erfüllt die PDG punktweise mit den erforderlichen Ableitungen; wenn genügend Regularität vorhanden ist, ist eine schwache Lösung auch eine starke Lösung, umgekehrt kann das in geringerer Regularität aber nicht gelten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt, wenn PDG und Randbedingungen in integrierter Form formuliert werden können und geeignete Funktionsräume (z. B. Sobolev-Räume) existieren; nicht direkt anwendbar auf PDGen mit zu singulären Koeffizienten oder rechten Seiten ohne Renormierung oder maßwertige Formulierungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen distributionellen/variationalen schwachen Lösungen und anderen verallgemeinerten Konzepten (sehr schwache Lösungen, Entropielösungen für Erhaltungssätze); die geeignete Wahl hängt von Gleichungstyp und gewünschten Eigenschaften (Eindeutigkeit, Erhaltung) ab.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine schwache Lösung ist ein Objekt geringerer Regularität, das eine PDG im integrierten/Testfunktionssinn erfüllt, erweitert die Lösbarkeit und bildet den natürlichen Rahmen für variationale Methoden und numerische Approximationen, wenn klassische Ableitungen fehlen.