##  [Bildmaß (Pushforward)](/de/node/58219) 

 Definition

Für eine messbare Abbildung f : (X, Σ_X) → (Y, Σ_Y) und ein Maß μ auf X ist das Bildmaß f_*μ auf Y definiert durch f_*μ(B)=μ(f^{-1}(B)) für messbare B⊂Y; es ist die natürliche Art, Masse unter f zu transportieren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Transportiert Maßmasse mittels Urbildern, sodass Integrale von Testfunktionen auf Y gleich Integralen auf X der mit f zusammengesetzten Funktionen sind; formaliert die Verteilung einer abgebildeten Zufallsvariablen und liegt dem Variablenwechsel in der Integration zugrunde.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ist X ein Wahrscheinlichkeitsraum von Ausgängen und f ordnet einem Ausgang eine beobachtete Größe zu, so ist die Verteilung dieser Größe genau f_*μ; z. B. ist die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Variablen das Bildmaß ihres gemeinsamen Maßes unter der Additionsabbildung.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, f_*μ habe eine Dichte gegenüber dem Lebesgue‑Maß, ohne absolute Stetigkeit zu prüfen; das Bildmaß kann singulär sein (z. B. wenn f auf eine Untermannigfaltigkeit geringerer Dimension abbildet).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Das Bildmaß definiert das Gesetz transformierter Zufallsvariablen, erlaubt die Verkettung probabilistischer Modelle unter messbaren Abbildungen und liefert einen koordinatenfreien Rahmen für Variablenwechsel und Erwartungsberechnungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das duale Konzept ist der Pullback von Funktionen oder Differentialformen: während das Bildmaß Maße via Urbilder vorwärts schiebt, zieht der Pullback Testfunktionen rückwärts zusammen mit f, um Integrale zu vergleichen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist, dass f messbar ist und μ ein Maß auf der σ‑Algebra des Definitionsbereichs ist; nicht definiert für nicht messbare Abbildungen, und Eigenschaften wie absolute Stetigkeit oder endliche Momente hängen sowohl von f als auch von μ ab.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zu naiven Dichtetransformationsformeln: Das Bildmaß ist allgemein und garantiert keine einfache Jacobidichte, es sei denn, f ist ausreichend regulär (z. B. Diffeomorphismus) und μ besitzt eine Dichte.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Bildmaß f_*μ ist das auf dem Zielraum erhaltene Maß, das jedem messbaren Satz die μ‑Masse seines Urbildes unter f zuweist und formalisiert, wie Maße und Verteilungen durch messbare Abbildungen transportiert werden.