## [Courant–Friedrichs–Lewy-Bedingung (CFL-Bedingung)](/de/node/58221) Definition Eine notwendige Bedingung, welche Zeitschrittgröße, räumliche Diskretisierung und charakteristische Geschwindigkeiten für eine stabile explizite numerische Integration hyperbolischer (und einiger parabolischer) partieller Differentialgleichungen verknüpft; typischerweise als Δt ≤ C Δx / |λ_max| formuliert, wobei C vom Schema abhängt. ## Prinzip Prinzip Der numerische Abhängigkeitsbereich muss den physikalischen Abhängigkeitsbereich der PDE enthalten: Informationen, die von der PDE transportiert werden, müssen durch das diskrete Update erfasst werden, damit numerische Signale die Gitterkausalität nicht überholen; sonst entstehen Instabilitäten. ## Demonstration Demonstration Für die eindimensionale lineare Advektionsgleichung u_t + a u_x mit einem expliziten Upwind-Finite-Difference-Schema erfordert die Stabilität Δt ≤ Δx/|a| (C=1); ein größeres Δt erzeugt wachsende Oszillationen und einen numerischen Zusammenbruch. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die CFL-Ungleichung als universell hinreichende Bedingung zu behandeln oder eine für ein Schema abgeleitete CFL-Konstante auf ein anderes Schema bzw. eine höherordentliche Methode ohne Neuableitung zu übertragen. ## Konsequenz Konsequenz Gibt eine praktische Zeitschrittbegrenzung bei expliziten Verfahren und steuert die Netzverfeinerung: Die Verfeinerung von Δx erzwingt eine proportionale Verringerung von Δt zur Erhaltung der Stabilität, was den Rechenaufwand beeinflusst. ## Umkehrung Umkehrung Implizite Zeitintegrationsverfahren können hinsichtlich der CFL-Bedingung unbeschränkt stabil sein und größere Δt erlauben, tauschen dies jedoch gegen erhöhte algebraische Komplexität und mögliche Genauigkeitsverluste oder andere Instabilitäten ein. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt primär für zeit‑explizite Diskretisierungen von PDEs, bei denen Ausbreitungsgeschwindigkeiten eine Rolle spielen; sie ist eine notwendige (nicht immer hinreichende) Stabilitätsbedingung in linearen Analysen und sichert keine Genauigkeit oder Behandlung nichtlinearer Schockbildung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Eng verwandt, aber verschieden von der von‑Neumann‑Stabilitätsanalyse: CFL ist eine geometrische Kausalitätsbedingung, oft notwendig, während von Neumann die spektralen Verstärkungsfaktoren prüft und für lineare konstante Koeffizienten-Schemata Hinreichendes liefern kann. ## Synthese Synthese Die CFL‑Bedingung ist die geometrische Einschränkung, die numerische Vorwärtsgeschwindigkeit mit physikalischer Ausbreitungsgeschwindigkeit in Einklang bringt und so eine Zeitschrittgrenze für explizite PDE‑Diskretisierungen verbindet.