##  [Itô-Integral](/de/node/58233) 

 Definition

Eine stochastische Integraldefinition für vorhersagbare, quadratintegrierbare Prozesse gegenüber einem Semimartingal (häufig dem Brownschen Bewegung), konstruiert als Mean‑Square‑Grenzwert nichtantizipativer Riemannsummen mit Linkspunktwerten; es gilt eine Isometrie, die die zweiten Momente mit der vorhersehbaren quadratischen Variation des Integrierten verbindet.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Nichtantizipative (vorhersagbare) Diskretisierung plus Quadratischen‑Variations‑Korrektur: Grenzwerte von Linkspunkt‑Riemannsummen liefern eine L2‑Isometrie und einen zusätzlichen zweiten Ordnungsterm in Veränderungsformeln.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen vorhersagbaren Prozess σ(t) mit ∫_0^T E[σ(t)^2] dt<∞ und Brownscher Bewegung W_t existiert das Itô‑Integral ∫_0^T σ(t)dW_t als L2‑Grenzwert und erfüllt E[(∫_0^T σ dW)^2]=E[∫_0^T σ^2 dt].

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die gewöhnliche Kettenregel auf f(X_t) anzuwenden, wenn X_t durch dX_t=σ(t)dW_t beschrieben wird, und dabei den Itô‑Korrekturterm (½ f''(X_t)σ(t)^2 dt) zu ignorieren — das Itô‑Integral wie ein klassischen Riemann‑Integral zu behandeln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Itô‑Integrale sind Martingale, wenn die Integranden quadratintegrierbar und mittelwertfrei sind; sie treten in der Itô‑Formel auf, die einen zweiten Ordnungs‑Term proportional zur quadratischen Variation hinzufügt und damit Lösungen stochastischer Differentialgleichungen verändert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Stratonovich‑Integrale entstehen aus symmetrischen (Mittelpunkt) Riemannsummen und gehorchen der klassischen Kettenregel; bei Umrechnung wird die Itô‑Korrektur durch eine Driftanpassung ersetzt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für vorhersagbare Prozesse, die gegen ein Semimartingal quadratintegrierbar sind; es ist kein pfadweises Lebesgue–Stieltjes‑Integral für beliebig raue Pfade und erfordert probabilistische Struktur (Filtration und quadratische Variation des Integrators).

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft dem Stratonovich‑Integral oder pfadweisen Integralen (Young/Rough Path) gegenübergestellt — dasselbe ∫‑Symbol verbirgt verschiedene Abtast‑Konventionen und Umformungsregeln.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein probabilistisches Integral, konstruiert aus Linkspunkt‑Riemannsummen, dessen L2‑Isometrie und Verhalten bezüglich der quadratischen Variation die charakteristische Itô‑Korrektur im stochastischen Kalkül erzeugen.