##  [Eigenvektor-Zentralität](/de/node/58241) 

 Definition

Ein Netzwerkzentralitätsmaß, das jedem Knoten einen Wert zuweist, der proportional zur Summe der Werte seiner Nachbarn ist; mathematisch die Einträge des dominanten Eigenvektors der Adjazenzmatrix (oder gewichteten Adjazenzmatrix) zur führenden Eigenwert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Bedeutung fließt über Verbindungen: Ein Knoten ist wichtig, wenn er mit anderen wichtigen Knoten verbunden ist, formalisiert durch die Eigenvektorbeziehung A v = λ v für die Adjazenzmatrix A und das dominante Eigenpaar (λ,v).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Berechne den führenden Eigenvektor der Adjazenzmatrix eines zusammenhängenden ungerichteten Graphen; normiere seine Einträge zu Zentralitätsscores — Knoten mit großen Komponenten sind strukturell zentral, auch wenn ihr Grad moderat ist, sofern sie mit hochbewerteten Nachbarn verbunden sind.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die rohe Eigenvektor-Zentralität auf gerichtete Graphen mit Senken oder auf reduzierbare Adjazenzmatrizen anzuwenden, ohne Reduzibilität oder Normierung zu berücksichtigen, kann irreführende oder nicht definierte Ranglisten erzeugen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wenn anwendbar, erfasst die Eigenvektor-Zentralität globale Einflussmuster und identifiziert Knoten, deren Position viele hochwichtige Nachbarn verbindet, statt nur lokale Gradhöhe zu betonen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Lokale Zentralitäten (z. B. Gradzentralität) kehren die Perspektive um: Sie zählen unmittelbare Verbindungen ohne Gewichtung durch Nachbarwichtigkeit und betonen damit lokale Beliebtheit statt propagierten Einfluss.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für Graphen, bei denen der führende Eigenwert eindeutig ist und der zugehörige Eigenvektor nichtnegativ ist (Perron–Frobenius-Bedingungen für nichtnegative irreduzible Matrizen); für reduzible oder vorzeichenbehaftete Adjazenzmatrizen ist die Interpretation anzupassen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Konkuriert mit PageRank und Katz-Zentralität: PageRank fügt stochastische Normierung und Dämpfung hinzu, um gerichtete Netze und Senken zu behandeln, Katz dämpft längere Pfade; die Methoden unterscheiden sich in Normierung und Umgang mit Reduzibilität.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eigenvektor-Zentralität vergibt Scores aus dem führenden Eigenvektor der Adjazenzmatrix, so dass die Bedeutung eines Knotens der Summe der Bedeutungen seiner Nachbarn entspricht und damit globalen propagierten Einfluss im Netzwerk erfasst.