## [Propagator (Greensche Funktion)](/de/node/58251) Definition Der Kern oder die Fundamentallösung eines linearen Differential- (oder Integral-)Operators, die Quellen oder Anfangsdaten in Felder abbildet; in zeitabhängigen Kontexten propagiert er Anfangsbedingungen oder Impulse entsprechend kausalen oder Randbedingungen. ## Prinzip Prinzip Ein Propagator ist das Inverse eines linearen Operators, eingeschränkt durch Rand- oder Kausalitätsbedingungen; Lösungen inhomogener Probleme werden durch Faltung des Propagators mit Quellen erhalten oder durch Anwendung auf Anfangsdaten zur Zeitentwicklung. ## Demonstration Demonstration Der Wärme-Kern G(x,t;y,0) für die Wärmegleichung löst (∂_t - κΔ) G = δ(x-y)δ(t) mit kausalen Randbedingungen; die Temperatur zur Zeit t ergibt sich als Faltung ∫ G(x,t;y,0) u_0(y) dy des Kerns mit den Anfangsdaten u_0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Greensche Funktion ohne Berücksichtigung erforderlicher Rand- oder Kausalitätsbedingungen zu verwenden führt zu fehlerhaften Lösungen, oder Propagatoren für nichtlineare Operatoren ohne Linearisierung anzuwenden. ## Konsequenz Konsequenz Die richtige Nutzung von Propagatoren liefert explizite Integralrepräsentationen von Lösungen, erleichtert spektrale Zerlegungen, perturbative Entwicklungen und liefert Kerne für numerische und analytische Auswertung von Antwort- und Korrelationsfunktionen. ## Umkehrung Umkehrung Eine homogene Lösung erfüllt die zugehörige homogene Gleichung und kann nicht allein durch Faltung mit einem Propagator erzeugt werden; die Überlagerung mit homogenen Lösungen ist notwendig, um Rand-/Anfangsbedingungen vollständig zu erfüllen. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für lineare Operatoren (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch) mit spezifizierten Rand- oder Kausalitätsregeln; bei nichtlinearen Problemen ist zu linearisieren oder nichtlineare Green-artige Konstruktionen zu verwenden, und distributionale Quellen erfordern sorgfältige Regularisierung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Eng verwandt mit Übertragungsfunktionen und Resolventen im Frequenzbereich; Propagatoren sind Zeit- bzw. Ortsbereichskerne, die Kausalität und Randdaten respektieren, während Übertragungsfunktionen deren Fourier-Transformierte sind und die spektrale Antwort betonen. ## Synthese Synthese Ein Propagator (Greensche Funktion) ist der Operator-Kern, der unter angegebenen Rand- oder Kausalitätsbedingungen einen linearen Differentialoperator invertiert und so die Konstruktion von Lösungen durch Faltung mit Quellen oder die Zeitentwicklung von Anfangsdaten ermöglicht.