## [Algebraische Vielfachheit (Eines Eigenwerts)](/de/node/58255) Definition Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts λ eines linearen Operators in einem endlichdimensionalen Vektorraum ist seine Vielfachheit als Nullstelle des charakteristischen Polynoms det(A − λI). ## Prinzip Prinzip Sie zählt, wie oft ein Eigenwert algebraisch in der charakteristischen Gleichung vorkommt, und beschränkt die Größen der zugehörigen Jordanblöcke. ## Demonstration Demonstration Für A = [[λ,1],[0,λ]] ist das charakteristische Polynom (λ − λ)^2, also hat λ algebraische Vielfachheit 2; die Matrix besitzt einen Jordanblock der Größe 2, sodass die algebraische Vielfachheit größer ist als die geometrische Vielfachheit (1). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu glauben, die algebraische Vielfachheit entspreche der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren (geometrische Vielfachheit) in nichtdiagonalisierbaren Fällen; oder den Begriff unverändert auf Operatoren unendlicher Dimension anzuwenden ohne Spektraltheorie zu berücksichtigen. ## Konsequenz Konsequenz Die Kenntnis der algebraischen Vielfachheiten bestimmt die Gesamtgröße der verallgemeinerten Eigenräume und legt zusammen mit den geometrischen Vielfachheiten die Jordan-Normalform und den Grad des Minimalpolynoms fest. ## Umkehrung Umkehrung Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums ker(A − λI); sie ist stets ≤ algebraische Vielfachheit und gleich genau dann, wenn der Operator bei λ diagonalisierbar ist. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition setzt ein charakteristisches Polynom voraus: sie ist intrinsisch für endlichdimensionale Operatoren über Körpern, in denen das Polynom faktorisiert (oft algebraisch abgeschlossene Felder); bei kontinuierlichem Spektrum oder Operatoren in unendlichen Räumen wird der Begriff durch spektrale Vielfachheiten ersetzt. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Algebraische Vielfachheit versus spektrale/maßtheoretische Vielfachheit: algebraische Vielfachheit ist ein diskreter Wurzelzähler in der endlichen Dimension, wohingegen spektrale Vielfachheit in der Funktionalanalyse die Multiplikität invarianten Unterraums für Anteile des kontinuierlichen Spektrums beschreibt. ## Synthese Synthese Die algebraische Vielfachheit misst, wie viele Faktoren (λ − λ0) das charakteristische Polynom enthält, bestimmt die Gesamtzahl verallgemeinerter Eigenvektoren und beschränkt die Jordanblockstruktur; sie steht in Beziehung zur, aber unterscheidet sich von der geometrischen Vielfachheit.