## [Eigenfunktion](/de/node/58261) Definition Eine von null verschiedene Funktion φ im Definitionsbereich eines linearen Operators L (auf einem Funktionsraum) ist eine Eigenfunktion, wenn es ein Skalar λ gibt mit L φ = λ φ; λ ist der zugehörige Eigenwert. ## Prinzip Prinzip Eigenfunktionen sind bis auf Skalierung unter L unveränderliche Modi; sie zeigen die zerlegbaren Richtungen des Operators im Funktionsraum auf. ## Demonstration Demonstration Für den Laplace-Operator auf [0,π] mit Dirichlet-Randbedingungen gilt φ_n(x)=sin(n x) und Δφ_n = -n^2 φ_n, also ist jedes φ_n eine Eigenfunktion mit Eigenwert -n^2. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jedes vertraute Basiselement ohne Prüfung von Definitionsbereich oder Randbedingungen als Eigenfunktion bezeichnen; oder das Konzept unverändert auf nichtlineare Operatoren anwenden. ## Konsequenz Konsequenz Eigenfunktionen ermöglichen Modalanalysen, lösen lineare PDG durch Trennung der Variablen und identifizieren Resonanzfrequenzen oder stabile Modi eines Systems. ## Umkehrung Umkehrung Generalisierte Eigenfunktionen oder Lösungen des kontinuierlichen Spektrums ersetzen diskrete Eigenfunktionen in unendlichdimensionalen oder nicht-kompakten Problemen und erfordern distributionelle Begriffe. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für lineare Operatoren mit spezifiziertem Definitionsbereich und Randbedingungen; manche Operatoren haben keine quadratintegrierbaren Eigenfunktionen (reines kontinuierliches Spektrum). ## Semantische Spannung Semantische Spannung Eigenfunktion versus beliebige Basisfunktion: Eigenfunktionen diagonalisieren die Wirkung des Operators, während Basisfunktionen dies nicht tun müssen; eine Eigenfunktion ist gegenüber einem Eigenvektor lediglich die funktionswertige Entsprechung. ## Synthese Synthese Eine Eigenfunktion ist eine nichttriviale Funktion, die vom Operator um einen Skalar gestreckt wird und so invarianten modal-analytischen Komponenten für die lineare Analyse in Funktionsräumen liefert.