## [Fisher-Informationsmatrix](/de/node/58267) Definition Eine symmetrische, positiv semidefinite Matrix, deren (i,j)-Eintrag dem Erwartungswert des Produkts von Score-Komponenten oder der negativen erwarteten zweiten Ableitung des Log-Likelihoods nach den Parametern entspricht; sie quantifiziert die Sensitivität der Parameter eines parametrischen Modells. ## Prinzip Prinzip Organisiert lokale Parametrierbarkeit und Sensitivität: Information addiert sich bei unabhängigen Beobachtungen und bestimmt untere Schranken für die Varianz von Schätzern. ## Demonstration Demonstration Für n unabhängige Beobachtungen aus N(μ,σ^2) mit bekanntem σ beträgt die Fisher-Information für μ n/σ^2; für einen Vektorparameter werden die Matrixeinträge analog aus den erwarteten Score-Produkten gewonnen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Fisher-Information in kleinen Stichproben als zuverlässig ansehen ohne Reguläritätsbedingungen zu prüfen, sie bei Modellfehlanpassung verwenden oder eine singuläre Matrix zu invertieren, als wäre sie kontraerativ. ## Konsequenz Konsequenz Wenn die Regularitätsbedingungen erfüllt sind, liefert die inverse Fisher-Matrix die asymptotische Kovarianz des Maximum-Likelihood-Schätzers und bestimmt die Cramér–Rao-Untergrenze für unverzerrte Schätzer. ## Umkehrung Umkehrung Die beobachtete Information ersetzt die Erwartung durch den tatsächlichen negativen Hessian an den Daten; bei verschwindender Information divergiert die Inverse und zeigt Nichtidentifizierbarkeit an. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für parametrische Modelle mit differenzierbaren Likelihoods und endlichen Erwartungswerten der Score-Produkte; schließt unendlichdimensionale oder nicht-differenzierbare Parametrisierungen sowie Fälle mit unendlichen zweiten Momenten aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird manchmal mit dem beobachteten negativen Hessian verwechselt; beide stimmen im Erwartungswert überein, unterscheiden sich aber numerisch, insbesondere in kleinen Stichproben oder bei Modellfehlern. ## Synthese Synthese Die Fisher-Informationsmatrix ist die erwartungsbasierte, additive Messgröße dafür, wie stark eine parametrische Likelihood über ihre Parameter aufklärt und bestimmt die asymptotische Streuung von Schätzern.