##  [Schur-Komplement](/de/node/58277) 

 Definition

Für eine Blockmatrix M = [[A, B],[C, D]] mit invertierbarem A ist das Schur‑Komplement von A in M definiert als S = D − C A^{-1} B; es fasst Blockelimination zusammen und drückt Determinanten und Inversen durch Blockformeln aus.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Kodiert die Wirkung der Eliminierung des Blocks A durch Gauß‑Elimination oder der Konditionierung in gaußschen Verteilungen; verbindet Blockinversion, Determinantenfaktorisierung det(M)=det(A)det(S) und die Positivitätskriterien über Schur‑Komplemente.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für M = [[A, B],[C, D]] mit invertierbarem A ergibt sich die Blockinversion [[A^{-1}+A^{-1} B S^{-1} C A^{-1}, −A^{-1} B S^{-1}],[−S^{-1} C A^{-1}, S^{-1}]]. Bei einer multivariaten Gauß‑Kovarianz Σ partitioniert als [[Σ_11, Σ_12],[Σ_21, Σ_22]] ist die konditionale Kovarianz des zweiten Blocks gegeben durch das Schur‑Komplement Σ_22 − Σ_21 Σ_11^{-1} Σ_12.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Schur‑Komplement‑Formel anzuwenden, wenn der Pivotblock A singulär ist, ohne A^{-1} durch eine verallgemeinerte Inverse zu ersetzen oder die Blöcke umzuordnen, führt zu ungültigen algebraischen Manipulationen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht effiziente Blocklöser, Kriterien für positive (semi)Definitheit mittels Schur‑Komplementen und probabilistische Interpretationen als konditionale Kovarianzen, die Dimensionsreduktion und Stabilitätsanalysen erlauben.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Schur‑Komplement von D anstelle von A zu bilden (wenn D invertierbar ist) liefert S' = A − B D^{-1} C; die Wahl des anderen Pivots kehrt die Eliminationsreihenfolge um und ergibt komplementäre Blockformeln.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt die Invertierbarkeit des gewählten Pivotblocks für die Standardformel voraus; Erweiterungen verwenden Pseudoinverse, Limesprozesse oder Rangfaktorisierungen für singuläre Blöcke. Anwendbar auf endliche Blockmatrizen und Operatoren, bei denen Blockinversion sinnvoll ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft mit der Schur‑Zerlegung (unitäre Dreiecksbildung) oder mit Matrixminoren verwechselt; das Schur‑Komplement ist eine blockweise algebraische Reduktion, unterschieden von Ähnlichkeits‑ oder Spektralfaktorisierungen gleichen Namens.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Schur‑Komplement ist der Blockrest nach Eliminierung eines Pivotblocks: eine algebraische Konstruktion, die bedingte Struktur kodiert, Blockinversion und Determinantenfaktorisierung ermöglicht und Grundlagen für Definitheitsprüfungen und blockweise Gauß‑Elimination liefert.