## [Rayleigh-Quotient](/de/node/58279) Definition Für eine hermitesche (oder symmetrische) Matrix A und einen von Null verschiedenen Vektor x ist der Rayleigh-Quotient R(x) = (x* A x)/(x* x), ein Skalar, der den Wert der quadratischen Form pro Einheitsquadratnorm von x angibt; bei komplexen Vektoren steht x* für die konjugiert-transponierte. ## Prinzip Prinzip Die quadratische Form von A durch die Vektornorm normalisieren, sodass die richtungsabhängige Wirkung der bilinearen Form als Skalar ausgedrückt wird; Extremwerte von R auf Unterräumen charakterisieren Eigenwerte. ## Demonstration Demonstration Ist A eine 2×2 symmetrische Matrix und v ein Eigenvektor mit Eigenwert λ, dann gilt R(v)=λ; allgemein liefert die Optimierung von R(x) über alle nichtverschwindenden x die größten bzw. kleinsten Eigenwerte bei symmetrischem A. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Den Rayleigh-Quotienten bei nicht-hermiteschen Matrizen anwenden und reale Extremwerte erwarten, oder R(x)-Werte ohne passende Normalisierung und Kontext als Wahrscheinlichkeiten oder Distanzen deuten. ## Konsequenz Konsequenz Bietet variationelle Schranken und Approximationen für Eigenwerte, bildet die Grundlage iterativer Eigenwert-Algorithmen und Preconditioning-Strategien und verknüpft quadratische Energiegrößen mit spektraler Information. ## Umkehrung Umkehrung Die unnormierte quadratische Form x* A x betont die absolute Energieskala, mischt aber Skala und Richtung; der Rayleigh-Quotient isoliert die Richtungsabhängigkeit durch Teilung durch die Norm zum Quadrat. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für von Null verschiedene Vektoren; liefert nur für hermitesche A reelle Werte (oder bei geeigneter Beschränkung von x); für indefinites A kann der Quotient Werte sowohl im positiven als auch im negativen Bereich annehmen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Rayleigh-Quotient versus verallgemeinerter Rayleigh-Quotient: Letzterer verwendet ein Paar von Matrizen und das Verhältnis (x* A x)/(x* B x) zur Behandlung verallgemeinerter Eigenwertprobleme und ändert Normalisierung und variationelle Eigenschaften. ## Synthese Synthese Eine normalisierte skalare Messgröße einer quadratischen Form in einer Richtung, die die richtungsabhängige «Energie pro Norm» erfasst und deren Extremwerte spektrale Größen für symmetrische oder hermitesche Operatoren wiedergeben.