## [Gram-Matrix](/de/node/58288) Definition Eine Matrix, deren Einträge paarweise Skalarprodukte einer Vektorsammlung sind: G_{ij} = ⟨v_i, v_j⟩. In Kernel‑Methoden ist die Gram‑Matrix die Matrix der Kernelbewertungen k(x_i,x_j). ## Prinzip Prinzip Kodiert paarweise geometrische Beziehungen mittels des Skalarprodukts; mathematisch ist sie symmetrisch und positiv semidefinit, ihr Rang entspricht der Dimension des Spannraums der Vektoren. ## Demonstration Demonstration Für v_1,...,v_m in R^n bildet man G ∈ R^{m×m} mit G_{ij} = v_i^T v_j. In ML ist K_{ij}=k(x_i,x_j) eine Gram‑Matrix im Merkmalraum. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Gram‑Matrix ohne Zentrierung mit einer Kovarianzmatrix verwechseln, sie ohne Regularisierung invertieren wenn sie singulär ist, oder numerische Instabilität bei nahezu kollinearen Daten ignorieren. ## Konsequenz Konsequenz Positive Semidefinitheit erlaubt Cholesky‑ und Eigenzerlegungen sowie Kernel‑PCA; der Rang zeigt Redundanz und bestimmt lineare Abhängigkeiten zwischen Vektoren oder Merkmalen. ## Umkehrung Umkehrung Eine Distanzmatrix erfasst paarweise Distanzen statt Skalarprodukte; Distanzen lassen sich nur nach Wahl eines Ursprungs/zentrierung in eine Gram‑Matrix überführen. ## Abgrenzung Abgrenzung Erfordert ein Skalarprodukt oder reproduzierenden Kernel; in unendlichdimensionalen Merkmalräumen kann die Gram‑Matrix implizit definiert, schlecht konditioniert oder unendlich-rangig sein und Regularisierung benötigen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft mit der Kovarianzmatrix verwechselt: beide sind symmetrisch PSD, aber Kovarianz ist ein Erwartungswert zentrierter Außenprodukte, während die Gram‑Matrix vom Zentrieren und Skalieren abhängt. ## Synthese Synthese Die Gram‑Matrix ist die symmetrische PSD‑Matrix der paarweisen Skalarprodukte, die die lineare Geometrie einer Vektormenge oder kernel‑bewerteter Daten kodiert und Rang sowie Orthogonalitätsstruktur bestimmt.