## [Riesz-Darstellungssatz (Hilbertsche Form)](/de/node/58314) Definition In einem Hilbertraum H lässt sich jede stetige lineare Funktional φ auf H eindeutig als Skalarprodukt φ(x) = ⟨x,v⟩ mit einem eindeutigen v∈H darstellen; diese Identifikation liefert einen isometrischen anti‑linearen (bzw. linearen je nach Konvention) Isomorphismus zwischen H und seinem kontinuen Dual H*. ## Prinzip Prinzip Der Satz identifiziert den Dualraum eines Hilbertraums mit dem Raum selbst über das Skalarprodukt, wodurch abstrakte Funktionale zu konkreten Vektoren werden und Konstruktionen von Adjungierten konkretisierbar sind. ## Demonstration Demonstration Auf L^2(Ω) ist jede stetige lineare Funktional durch Integration gegen eine feste L^2‑Funktion g gegeben: φ(f)=∫_Ω f(x) overline{g(x)} dx; hier ist g der durch den Satz repräsentierende Vektor. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Riesz‑Darstellung in nicht‑Hilberträumen (z.B. L^p für p≠2) anzuwenden ist nicht zulässig; dort sind die Dualräume nicht durch Skalarprodukte mit Vektoren desselben Raumes darstellbar. ## Konsequenz Konsequenz Der Satz vereinfacht Dualität: beschränkte lineare Funktionale lassen sich als Skalarprodukte mit Vektoren behandeln, was Existenzbeweise, Adjungierten‑Definitionen und orthogonale Projektionsargumente erleichtert. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenbild sind allgemeine Banachräume, in denen der kontinuierliche Dualraum fundamental vom Urbildraum abweichen kann; ohne Skalarproduktstruktur gibt es keine Darstellung als Skalarprodukt. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Aussage setzt eine vollständige Skalarproduktstruktur (Hilbertraum) voraus; Riesz‑artige Resultate existieren auch in anderen Kontexten (z.B. Maße versus stetige Funktionen), sind aber unterschiedliche Sätze mit anderen Voraussetzungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Riesz versus Hahn‑Banach: Riesz liefert in Hilberträumen eine konkrete Repräsentation, während Hahn‑Banach in allgemeinen Banachräumen Erweiterungen von Funktionalen sichert ohne ein darstellendes Element anzugeben. ## Synthese Synthese Der Riesz‑Darstellungssatz (Hilbertsche Form) besagt, dass stetige lineare Funktionale auf einem Hilbertraum genau die Skalarprodukte mit eindeutigen Vektoren dieses Raumes sind und damit H isometrisch mit H* identifiziert wird.