##  [Beweis Durch Widerspruch](/de/node/59187) 

 Definition

Eine Beweismethode, die die Verneinung der zu beweisenden Aussage annimmt und einen logischen Widerspruch herleitet; aus dem Widerspruch folgt die ursprüngliche Aussage (klassisch unter Verwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten oder der Doppelnegations-Elimination).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Nutze klassische Logikprinzipien: wenn ¬P einen Widerspruch impliziert, dann gilt ¬¬P, und in klassischer Logik ergibt das P. Die Taktik verwandelt die Unmöglichkeit der Negation in die Wahrheit der Behauptung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beweis der Irrationalität von √2: Annahme, √2 sei rational, führt zu einem arithmetischen Widerspruch in der Parität von Zähler und Nenner. Ein weiteres Beispiel: zeigen, dass es keinen kleinsten positiven Rationalen mit einer Eigenschaft gibt, indem man seine Existenz annimmt und auf Unmöglichkeit stößt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Widerspruch verwenden, um konstruktive Existenz zu behaupten, ohne Zeugen anzugeben (in konstruktiven Systemen ist ¬¬∃x schwächer als ∃x), oder annehmen, ein gefundener Widerspruch identifiziere immer die genau fehlerhafte Annahme statt nur die Negation auszuschließen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht Beweise von Negationen, Unmöglichkeitsaussagen und vielen Existenzaussagen in der klassischen Mathematik; besonders nützlich, wenn ein direkter oder konstruktiver Ansatz schwierig oder unbekannt ist.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Im Gegensatz zu direkten oder konstruktiven Beweisen, die das behauptete Objekt konstruieren; Kontraposition ist verwandt, aber verschieden (beweise ¬Q⇒¬P um P⇒Q zu erhalten) und nicht identisch mit reductio-Argumenten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gültig in klassischer Logik; in intuitionistischer oder konstruktiver Logik kann man aus ¬P⇒⊥ oft nur ¬¬P schließen, nicht P selbst, es sei denn, zusätzliche Prinzipien werden akzeptiert. Die Methode gilt nur, wenn ein echter Widerspruch (Herleitung von A und ¬A oder einer Absurdität) erzielt wird.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Beweis durch Widerspruch versus konstruktiver Beweis: Beide zielen auf Wahrheitsbeweis, unterscheiden sich aber in der Lieferung von Zeugen und in der Abhängigkeit vom ausgeschlossenen Dritten; versus Kontraposition: Kontraposition wandelt eine Implikation um, reductio nimmt die Negation an und sucht das Absurde.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Beweis durch Widerspruch verwandelt die Unmöglichkeit der Negation in einen Beweis der Aussage durch Herleitung einer Inkonsistenz in klassischer Logik; er ist eine mächtige, teils nichtkonstruktive Technik, die direkte und konstruktive Methoden ergänzt.