##  [Nullität](/de/node/59222) 

 Definition

Nullität ist die Dimension des Kerns (Nullraum) einer linearen Abbildung oder Matrix: die Anzahl unabhängiger Lösungen der homogenen Gleichung A x = 0.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Nullität misst die verlorenen Freiheitsgrade einer linearen Abbildung; zusammen mit dem Rang gilt Rang + Nullität = Dimension der Domäne und teilt diese in Kern und ein komplementäres injektiv abgebildetes Subraum.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für C = [[1,2],[2,4]] auf R^2 ist der Kern eindimensional (Vektoren proportional zu [-2,1]), also Nullität = 1 und Rang = 1.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Nullität mit der Dimension des orthogonalen Komplements zu verwechseln oder anzunehmen, Nullität sei unter beliebigen Basisfeldänderungen invariant ohne Prüfung des algebraischen Kontexts (z. B. Moduln über Ringen).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Nullität gibt an, wie viele freie Parameter in der allgemeinen Lösung homogener linearer Systeme auftreten, und signalisiert Nicht‑Injektivität; hohe Nullität bedeutet viele unabhängige Richtungen, die auf Null kollabieren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Gegenperspektive ist Injektivität und voller Rang: Nullität null bedeutet Injektivität; Nullität zu minimieren entspricht der Maximierung erhaltener unabhängiger Informationen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Klar definiert in endlichdimensionalen Vektorräumen; in unendlichen Dimensionen kann die Kern‑Dimension unendlich sein oder kardinalarithmetische Betrachtung erfordern; über Moduln verhält sich die Kern‑Dimension nicht immer wie in Vektorräumen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Nahe, aber verschieden von der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwerts: Nullität ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts null, bei nicht‑null Eigenwerten ist Vorsicht beim Sprechen über Vielfachheiten geboten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Nullität ist die Anzahl unabhängiger Richtungen, die eine lineare Abbildung annihiliert; zusammen mit dem Rang liefert sie eine vollständige Aufteilung der Domänendimension und bestimmt die Parametrisierung homogener Lösungsmengen.