##  [Varianz](/de/node/59230) 

 Definition

Der Erwartungswert der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert; ein Streuungsmaß mit Einheiten gleich dem Quadrat der Variableneinheiten.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Varianz = E[(X - E[X])^2]; sie zerfällt durch das Gesetz der totalen Varianz und ist für unabhängige Variablen additiv (Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) bei Unabhängigkeit).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen fairen sechsseitigen Würfel X ∈ {1,...,6} ist E[X]=3,5 und Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 = 35/12 ≈ 2,9167. Für eine Bernoulli(p)-Variable gilt Var(X)=p(1-p).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Varianz als direkt mit typischer Abweichung vergleichbar ansehen, ohne quadrierte Einheiten zu berücksichtigen, Stichprobenvarianzformeln falsch anwenden (biassed vs. unbiased), oder Additivität bei abhängigen Variablen fälschlich annehmen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Varianz quantifiziert Streuung auf eine Weise, die gut mit linearen Operationen und zentralen Approximationen zusammenarbeitet; sie ist Grundlage für Konfidenzintervalle, Hypothesentests und Risikomaße, verlangt aber Vorsicht bei nicht-gauss'schen Schwänzen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt Varianz die Präzision (Inverse der Varianz) als Konzentrationsmaß verwenden oder mittlere absolute Abweichung als Alternative ohne Quadrierung der Abweichungen wählen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert, wenn der zweite Moment existiert (E[X^2]<∞). Bei schwer geschwänzten Verteilungen mit unendlichem zweiten Moment ist die Varianz undefiniert oder unendlich; Varianz ist unempfindlich gegenüber Vorzeichen der Abweichungen und anfällig für Ausreißer.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Varianz ist ein quadratisches, rechnerisch günstiges Streumaß, steht aber manchmal im Widerspruch zur intuitiven Vorstellung der 'typischen Abweichung' — hierfür ist oft die Standardabweichung oder MAD geeigneter.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Varianz ist das quadratische Streumaß, gebildet aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen; es ist algebraisch handhabbar und zentral in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, doch Interpretation und Anwendbarkeit hängen von Einheiten und Momenteigenschaften ab.