##  [QR-Zerlegung](/de/node/59280) 

 Definition

Eine Matrixfaktorisierung A = Q R, wobei Q orthogonal (bzw. unitär) und R obere Dreiecksmatrix ist; Varianten sind die volle und die reduzierte (thin) Form. Wird benutzt zur Lösung linearer Systeme, von Ausgleichsproblemen (Least Squares) und als Baustein in numerischen Eigenwertverfahren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine Matrix in eine orthonormale Basis (Q), die die Koordinaten ändert, und einen dreieckigen Faktor (R), der die Koordinaten der Originalspalten in dieser Basis liefert, zerlegen; die Orthogonalität von Q erhält die Norm und stabilisiert die Berechnung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Um min ||Ax - b|| zu lösen, berechne A = QR, dann R x = Q^T b (oder R x = Q^* b im komplexen Fall) und löse das Dreieckssystem durch Rücksubstitution. Numerisch lässt sich QR durch Householder-Reflektoren, Givens-Rotationen oder Gram–Schmidt-Verfahren erhalten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die direkte klassische Gram–Schmidt ohne Reorthogonalisierung bei schlecht konditionierten Matrizen zu verwenden kann ein stark nicht-orthogonales Q und ein ungenaues R ergeben. Die Annahme der Einzigartigkeit von Q und R ohne Vorzeichen-/Phasenfestlegung oder Pivoting ist irreführend, besonders bei rangdefizienten Matrizen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet numerisch stabile Methoden zur Lösung von Least-Squares-Problemen und zur Orthonormalisierung von Spalten; liefert Zerlegungen, die für weitere numerische Verfahren wie die Eigenwertberechnung oder rangaufdeckende Faktorisierungen geeignet sind.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Verwende LU-Zerlegung, wenn eine Dreieck-mal-Dreieck-Faktorisierung ausreicht (für quadratische Matrizen und mit Pivoting), oder die singuläre Wertzerlegung (SVD), wenn explizite Orthogonalität und Ranginformation benötigt werden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Matrizen über reellen oder komplexen Innenprodukträumen; Q ist nur bis auf Vorzeichen/Phasen eindeutig, wenn R keine Null-Diagonale hat. QR ist nicht unmittelbar auf nichtlineare Operatoren oder unendlichdimensionale Operatoren ohne funktionalanalytische Erweiterung anwendbar.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

„QR“ als Faktorisierung versus „Gram–Schmidt“ als Prozess — QR bezeichnet die Matrixidentität, Gram–Schmidt den prozeduralen Weg, der ohne Modifikation instabil sein kann.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die QR-Zerlegung stellt eine Matrix als orthonormale Basisänderung gefolgt von einer oberen Dreieckstransformation dar; stabil implementiert durch Householder- oder Givens-Verfahren, ist sie zentral zur Lösung linearer Probleme und vieler numerischer Algorithmen der linearen Algebra.